Calculando el beneficio esperado en un juego de apuestas

ENUNCIADO. Una cierta lotería consiste en sortear un único premio de $5000$ euros. Para ello se elige al azar un número comprendido entre $1$ y $1000$. Para participar, hay que pagar $5$ euros por cada número al que se desea apostar. Si se compra un número, ¿ cuál es el beneficio esperado ?. Si comprásemos $3$ números, ¿ cuál sería entonces el beneficio esperado ?

SOLUCIÓN. La probabilidad de que salga el número que hemos comprado es $\dfrac{1}{1000}$ y, por tanto, la probabilidad de que no salga es $\dfrac{999}{1000}$. Así pues el beneficio esperado es igual a $$(5000-5)\cdot \dfrac{1}{1000}+(-5)\cdot \dfrac{999}{1000}=-4 \; \text{euros}$$ Como el beneficio esperado es negativo, desde luego, comprar un sólo número no es favorable al jugador.

Veamos qué sucede si compramos más de un número, pongamos que tres. En ese caso, la probabilidad de conseguir el premio sería $\dfrac{3}{1000}$ y la de no conseguirlo $1-\dfrac{3}{1000}$, luego
$$(5000-5\cdot 3)\cdot \dfrac{3}{1000}+(-5\cdot 3)\cdot (1-\dfrac{3}{1000})=-12 \; \text{euros}$$

Así pues, cuánto más números comprásemos de esa lotería más perderíamos, por lo que no es recomendable apostar en ella.

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ACLARACIÓN. Vamos a justificar que la probabilidad de sacar el premio comprando tres números es $\dfrac{3}{1000}$. Denotemos por $N_i$ al suceso el número i-ésimo ( de los diez que hemos comprado ) es el premiado, donde $i=1,2,\ldots,10$. Entonces, la probabilidad de obtener el premio ( recordemos que el premio corresponde a un sólo número de los mil que se sortean ) es igual a
$$P(\text{obtener el premio})=P\left(N_1 \cup (\bar{N_1} \cap N_2 ) \cup ((\bar{N_1} \cap \bar{N_2}) \cap N_3)\right)$$
Y como $N_1$, $\bar{N_1} \cap N_2$ y $(\bar{N_1} \cap \bar{N_2}) \cap N_3$ son sucesos disjuntos ( incompatibles ) podemos escribir que
$P(\text{obtener el premio})=P(N_1)+P(\bar{N_1} \cap N_2 )+P\left((\bar{N_1} \cap \bar{N_2}) \cap N_3)\right) \quad (1)$

Y teniendo en cuenta que:

$P(N_1)=\dfrac{1}{1000}$

$P(\bar{N_1} \cap N_2 )=P(N_2 \cap \bar{N_1})=P(\bar{N_1})\cdot P(N_2|\bar{N_1})=\dfrac{999}{1000}\cdot \dfrac{1}{999}=\dfrac{1}{1000}$

$P\left((\bar{N_1} \cap \bar{N_2}) \cap N_3)\right)=P\left(N_3 \cap (\bar{N_1} \cap \bar{N_2}) \right)=P(\bar{N_1}\cap \bar{N_2})\cdot P(N_3|\bar{N_1}\cap \bar{N_2})=$
  $=P(\bar{N_2})\cdot P(\bar{N_2}|\bar{N_1})\cdot P(N_3|\bar{N_1}\cap \bar{N_2})=\dfrac{999}{1000}\cdot \dfrac{998}{999} \cdot \dfrac{1}{998}=\dfrac{1}{1000}$

Entonces, de (1), $P(\text{obtener el premio})=\dfrac{1}{1000}+\dfrac{1}{1000}+\dfrac{1}{1000}=\dfrac{3}{1000}$

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Esperanza matemática de la distribución binomial B(n,p)

ENUNCIAR. Demostrar que la esperanza matemática de una variable aleatoria $X$ binomial $B(n,p)$ es igual a $n\cdot p$

SOLUCIÓN.
Procedimiento I:
Aplicando la definición de esperanza matemática de una variable discreta $$E[X]\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sum_{i\in X(\Omega)}\,i\cdot p_i$$ donde $i$ toma valores en el conjunto $$X(\Omega)=\{0,1,2,\ldots,n\}$$ Luego, en el caso de la distribución binomial, la definición nos lleva a $$E[X]=\sum_{i=0}^{n}\,i\cdot \binom{n}{i}\cdot p^{i}\cdot q^{n-i}$$ y como el primer sumando es $0$ ( por el factor $i=0$ ) podemos escribir lo anterior como $$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,i\cdot \binom{n}{i}\cdot p^{i}\cdot q^{n-i}$$ Teniendo en cuenta, ahora, que $$i\cdot \displaystyle \binom{n}{i} = \dfrac{i\cdot n!}{(n-1)!\,i!}=\dfrac{n!}{(n-1)!\,(n-i)!}=\dfrac{n\,(n-1)!}{(i-n)!\,(n-i)!}$$ la suma puede expresarse de la forma $$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,\dfrac{n\,(n-1)!}{(i-n)!\,(n-i)!}\cdot p^{i}\cdot q^{n-i}$$ y como $n\cdot p$ es un factor común a todos los sumandos, podemos sacar factor común de dicho factor, quedando $$\displaystyle n\,p\, \sum_{i=1}^{n}\,\dfrac{(n-1)!}{(i-n)!\,(n-i)!}\cdot p^{i}\cdot q^{n-i}$$ y teniendo en cuenta que $$\dfrac{(n-1)!}{(i-n)!\,(n-i)!}=\dfrac{(n-1)!}{(i-n)!\,((n-1)-(i-1))!} = \displaystyle \binom{n-1}{i-1}$$ podemos escribir la suma así $$\displaystyle n\cdot p\, \sum_{i=1}^{n}\,\binom{n-1}{i-1}\cdot p^{i}\cdot q^{n-i}$$ Ahora bien, por el desarrollo del binomio de Newton $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,\binom{n-1}{i-1}\cdot p^{i}\cdot q^{n-i}=(p+q)^{n-1}=1$, ya que $p+q=p+(1-p)=1$. Por consiguiente, queda probado así que la esperanza matemática de $X$ es igual a $$E[X]=n \cdot p \cdot 1^{n-1} = n \cdot p \cdot 1 = n \cdot p$$

Procedimiento II:
Teniendo en cuenta que una variable binomial $X:B(n,p)$ es la suma de $n$ variables independientes de Bernoulli $X_j:B(1,p)$ ( donde $j=1\,2,\ldots,n$ ), y que la esperanza matemática de una distribución de Bernoulli es $E[X_i]=p$, aplicando la propiedad de la esperanza matemática $E[X_1+\ldots+X_n] = E[X_1]+\ldots+E[X_n]$ ( que es válida si las variables $X_1$,$\ldots$,$X_n$ son independientes ), en el caso que nos ocupa obtenemos, $p+\ldots+p=n\,p$, llegando a justificar así la afirmación del enunciado, $E[X]=n\cdot p$, sin tanto cálculo como en el procedimiento I.

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Un ejercicio sobre una distribución binomial

ENUNCIADO. Sea $X$ una variable aleatoria binomial $B(n,p)$. La esperanza matemática de dicha variable es $5$, y la varianza es $\dfrac{10}{3}$. Se pide:
a) Los valores de $n$ y de $p$
b) Calcular la probabilidad de obtener exactamente cuatro éxitos.

SOLUCIÓN.
a)
Recordemos que la esperanza matemática para una distribución binomial se calcula mediante la fórmula $E[X]=np$, y la varianza con $V[X]=npq$, donde $p$ es la probabilidad de éxito y $q=1-p$ la de fracaso. Entonces, de la información del enunciado, podemos escribir: $$\left\{\begin{matrix}np&=&5\\ npq&=&\dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.$$ Dividiendo, miembro a miembro, la segunda ecuación entre la primera, $$\dfrac{npq}{np}=\dfrac{10/3}{5}$$ simplificando, encontramos que la probabilidad de fracaso es $$q=\dfrac{2}{3}$$ luego la probabilidad de éxito es $$p=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$$ Sustituyendo este resultado en la primera ecuación podemos calcular el valor de $n$, así, de $$\dfrac{1}{3}\cdot n=5$$ obtenemos $$n=15$$

b)
Calculemos, ahora, la probabilidad pedida:
$$P\{X=4\}= \displaystyle \binom{15}{4} \cdot \left(\dfrac{1}{3} \right)^{4} \cdot \left( \dfrac{2}{3} \right)^{15-4}\approx 0{,}1948$$
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Distribuciones de probabilidad. Propiedades de la esperanza matemática

P1. $E[X + Y] = E[X] + E[Y]$

P2. $E[k · X] = k · E[X]$, siendo $k \in \mathbb{R}$

P3. $E(k) = k$, siendo $k \in \mathbb{R}$.

P4. $E[a · X + b] = a · E[X] + b$, siendo $a,b \in \mathbb{R}$

P5. $E[X \cdot Y ]= E[X] \cdot E[Y]$ si y sólo si $X$ e $Y$ son variables aleatorias independientes

Distribuciones de probabilidad discretas

ENUNCIADO. Sea la distribución de probabilidad de una variable discreta $X$ dada por la siguiente tabla:
$\begin{matrix}x_i:&0&1&2&3&4 \\
p_i:&0,1&0,2&0,5&0,15&0,05
\end{matrix}$
Calcular:
a) la esperanza matemática
b) la varianza
c) la desviación estándar

SOLUCIÓN:

a)
$E[X]\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sum_{i=1}^{5}\,x_i \cdot p_i=0\cdot 0,1 + 1 \cdot 0,2 + 2 \cdot 0,5 + 3 \cdot 0,15 + 4 \cdot 0,05=1,85$

b)
$V[X]\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sum_{i=1}^{5}\,(x_i-E[X])^2\cdot p_i=0,9275$

c)
$DE[X]\overset{\text{def}}{=}\sqrt{V[X]}=\sqrt{0'9275}=0,9631$
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En un examen de tipo test ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un examen de tipus test consta de $20$ preguntes. Cada pregunta es pot contestar marcant tan sols una opció d'entre cinc, i tan sols una d'aquestes cinc és la resposta correcta. Cada pregunta ben contestada val un punt i cada pregunta mal contestada val menys un quart de punt. No es pot deixar cap pregunta en blanc. Suposant que un alumne realitzi el test a l'atzar, us demanem: a) quina és la puntuació que pot esperar ?, b) en una escala lineal de $0$ a $10$, quina nota (aproximada a un nombre natural) li correspondria ?.

Solució:

  a)
Designem amb $X$ la variable aleatòria "puntuació obtinguda" en la realització del test (contestant a l'atzar). En cada pregunta hom pot obtenir un punt amb probabilitat (d'encert) igual a 1/5 ; o bé, menys un quart de punt, amb probabilitat (de fallar) igual a 4/5. Tenint en compte que el test consta de vint preguntes i que totes estan valorades de la mateixa manera, la puntuació màxima que es pot obtenir és de 20 punts i la mínima de -5 punts. L'esperança matemàtica de la variable aleatòria $X$ es calcula, doncs, fàcilment:
    $E[X]=20\,\big(-\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{4}{5}+1\cdot \dfrac{1}{5}\big)$
                $=0 \quad \text{punts}$

  b)
Per expressar la puntuació obtinguda en una escala lineal $y$, del zero al 10, determinarem la recta que passa pels punts extrems, de coordenades: $x=-5$ i $y=0$; i, $x=20$ i $y=10$, respectivament.
Aquesta recta, expressada en forma contínua, s'escriu
    $\dfrac{x-(-5)}{20-(-5)}=\dfrac{y-0}{10-0}$
i, d'aquí, aïllant $y$, obtenim la recta en forma explícita
    $y=\dfrac{2}{5}\,x+2$
Per tant, si $x=0$ (en una escala de -5 a 20), substituint s'obté
    $y=\dfrac{2}{5}\cdot 0+2$
        $=2$ (en una escala de 0 a 10)
$\square$

[nota del autor]