ENUNCIADO. En una caja hay $3$ bolas negras y $2$ bolas blancas. Se extraen tres bolas de la urna, de forma sucesiva y con reemplazamiento. Se pide:
a) La probabilidad de que al menos una de las tres bolas sea blanca
b) La probabilidad de que ninguna sea negra
SOLUCIÓN.
a)
La probabilidad de que al sacar una bola sea blanca es $p=\dfrac{2}{5}$ y de que sea negra $q=1-p=\dfrac{3}{5}$. La variable aleatoria que manejamos, $X$, sigue una distribución binomial $B(3,2/5)$ y toma valores en el conjunto de números enteros no negativos $\{0,1,2,3\}$. Así, $P\{X\ge 1\}=P\{X=1\}+P\{X=2\}+P\{X=3\}$ (1) y como la función de probabilidad ( o de cuantía ) para este modelo de distribución viene dada por $$P\{X=x\}=\displaystyle \binom{n}{x}\,p^x\,q^{n-x}$$ la probabilidad pedida (1) es
$P\{X\ge 1\}=\displaystyle \binom{3}{1}\,p^1\,q^{3-1}+\binom{3}{2}\,p^2\,q^{3-2}+\binom{3}{3}\,p^3\,q^{3-3}$
$=\displaystyle \binom{3}{1}\,(2/5)^1\,(3/5)^{3-1}+\binom{3}{2}\,(2/5)^2\,(3/5)^{3-2}+\binom{3}{3}\,(2/5)^3\,(3/5)^{3-3}$
$=\dfrac{98}{125}= 78{,}4\,\% $
b)
P("ninguna sea negra")=P("las tres bolas sean blancas")=$=P\{X=3\}=\displaystyle \binom{3}{3}\,(2/5)^3\,(3/5)^{3-3}=\dfrac{8}{125} \approx 6{,}4\,\%$
$\square$
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martes, 14 de junio de 2016
lunes, 6 de junio de 2016
La distribución de Poisson ( para eventos que se dan de forma ocasional en un cierto intervalo de tiempo )
ENUNCIADO. En un taller de mecanizado, un cierta máquina tiene $2$ averías cada $10$ días ( laborables ). Se pide:
a) ¿ Cuál es la probabilidad de que no se dé ninguna avería en ese intervalo de tiempo ? ¿ Y de que se dé alguna avería ?
b) ¿ Cuál es la probabilidad de que se produzcan exactamente $5$ averías en ese intervalo de tiempo ?
c) ¿ Cuál es la probabilidad de que no se produzca ninguna avería en un intervalo de $20$ días ? ¿ Y de que se dé alguna avería ?
AYUDA. Si un evento se da de forma muy ocasional ( que podría ser el caso que se describe aquí ), la variable aleatoria número de veces que se produce tal evento en un cierto intervalo de tiempo sigue una distribución de Poisson de parámetro $\lambda$ ( que representa el número de averías que se dan en un dicho intervalo de tiempo ). La función de probabilidad ( de cuantía ) de dicho modelo discreto viene dado por $f(k)\equiv P\{X=k\}=\dfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^k}{k!}$. En una distribución de Poisson, $E[X]=V[X]=\lambda$.
SOLUCIÓN.
La variable aleatoria número de averías que se producen cada $10$ días toma valores en el conjunto $\{0,1,2,\ldots,k,\ldots\}$ y sigue una distribución de Poisson de parámetro $\lambda$. Entonces:
a)
En este caso la variable de Poisson $X$ se caracteriza por el parámetro $\lambda=2$ averías cada $10$ días, luego $P\{X=0\}=\dfrac{e^{-2}\cdot 2^0}{0!}=e^{-2} \approx 0{,}1353$. Por tanto, la probabilidad de que se dé al menos una avería en un intervalo de $10$ días es igual a $1-0{,}1353=0{,}8647$
b)
Con la misma variable de Poisson que en el apartado anterior, obtenemos $P\{X=5\}=\dfrac{e^{-2}\cdot 2^5}{5!} \approx 0{,}036$
c)
Al manejar, ahora, otro intervalo de tiempo, hablaremos de otra variable de Poisson, a la que denotamos por $Y$. La variable $Y$ también toma valores en el conjunto $\{0,1,2,\ldots,k,\ldots\}$ ), y su distribución viene caracterizada por el parámetro $\lambda=2 \times $(número de intervalos de diez días comprendidos en un intervalo de 20 días)$=2 \cdot \dfrac{20}{10}=4$ averías cada 10 días, por tanto $P\{Y=0\}=\dfrac{e^{-4}\cdot 4^0}{0!}=e^{-4} \approx 0{,}0183$. Luego, la probabilidad de que se dé al menos una avería en un intervalo de $20$ días es igual a $1-0{,}0183=0{,}9817$
$\square$
a) ¿ Cuál es la probabilidad de que no se dé ninguna avería en ese intervalo de tiempo ? ¿ Y de que se dé alguna avería ?
b) ¿ Cuál es la probabilidad de que se produzcan exactamente $5$ averías en ese intervalo de tiempo ?
c) ¿ Cuál es la probabilidad de que no se produzca ninguna avería en un intervalo de $20$ días ? ¿ Y de que se dé alguna avería ?
AYUDA. Si un evento se da de forma muy ocasional ( que podría ser el caso que se describe aquí ), la variable aleatoria número de veces que se produce tal evento en un cierto intervalo de tiempo sigue una distribución de Poisson de parámetro $\lambda$ ( que representa el número de averías que se dan en un dicho intervalo de tiempo ). La función de probabilidad ( de cuantía ) de dicho modelo discreto viene dado por $f(k)\equiv P\{X=k\}=\dfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^k}{k!}$. En una distribución de Poisson, $E[X]=V[X]=\lambda$.
SOLUCIÓN.
La variable aleatoria número de averías que se producen cada $10$ días toma valores en el conjunto $\{0,1,2,\ldots,k,\ldots\}$ y sigue una distribución de Poisson de parámetro $\lambda$. Entonces:
a)
En este caso la variable de Poisson $X$ se caracteriza por el parámetro $\lambda=2$ averías cada $10$ días, luego $P\{X=0\}=\dfrac{e^{-2}\cdot 2^0}{0!}=e^{-2} \approx 0{,}1353$. Por tanto, la probabilidad de que se dé al menos una avería en un intervalo de $10$ días es igual a $1-0{,}1353=0{,}8647$
b)
Con la misma variable de Poisson que en el apartado anterior, obtenemos $P\{X=5\}=\dfrac{e^{-2}\cdot 2^5}{5!} \approx 0{,}036$
c)
Al manejar, ahora, otro intervalo de tiempo, hablaremos de otra variable de Poisson, a la que denotamos por $Y$. La variable $Y$ también toma valores en el conjunto $\{0,1,2,\ldots,k,\ldots\}$ ), y su distribución viene caracterizada por el parámetro $\lambda=2 \times $(número de intervalos de diez días comprendidos en un intervalo de 20 días)$=2 \cdot \dfrac{20}{10}=4$ averías cada 10 días, por tanto $P\{Y=0\}=\dfrac{e^{-4}\cdot 4^0}{0!}=e^{-4} \approx 0{,}0183$. Luego, la probabilidad de que se dé al menos una avería en un intervalo de $20$ días es igual a $1-0{,}0183=0{,}9817$
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viernes, 3 de junio de 2016
Dando en el blanco ...
ENUNCIADO. La probabilidad de que un tirador dé en el blanco en un disparo es $0{,}6$. Si efectúa tres disparos, calcular:
a) la probabilidad de acertar al menos dos veces
b) el número de disparos que debería efectuar para que la probabilidad de acertar al menos una vez fuese mayor que $0{,}8$
SOLUCIÓN.
a)
La variable aleatoria $X$ ( "número de aciertos" ) toma valores en el conjunto $\{0,1,2,3\}$, entonces:
$P\{X \ge 2\}=P\{X=2\}+P\{X=3\}=\displaystyle \binom{3}{2}\cdot 0{,}6^2\cdot (1-0{,}6)^{3-2}=0{,}432$
b)
Si $P\{X \ge 1\} \succ 0{,}8$, entonces $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,\binom{n}{i}\cdot 0{,}6^i\cdot (1-0{,}6)^{n-i} \succ 0{,}8$. Procedemos, ahora, a ensayar valores crecientes de $n$ para ver si se cumple o no lo que se requiere en esta segunda pregunta. Es claro que con un disparo ( $n:=1$ ) la probabilidad de acertar es $0{,}6$ que es menor que $0{,}8$, por lo que el tirador debe realizar más de un disparo; probemos con $n:=2$ disparos, en este caso $P\{X \ge 1\}$ es igual a $\displaystyle \sum_{i=1}^{2}\,\displaystyle \binom{n}{i}\cdot 0{,}6^i\cdot (1-0{,}6)^{2-i}=0{,}84 \succ 0{,}8$, luego con dos disparos basta para que la probabilidad de acertar al menos una vez sea mayor que $0{,}8$
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a) la probabilidad de acertar al menos dos veces
b) el número de disparos que debería efectuar para que la probabilidad de acertar al menos una vez fuese mayor que $0{,}8$
SOLUCIÓN.
a)
La variable aleatoria $X$ ( "número de aciertos" ) toma valores en el conjunto $\{0,1,2,3\}$, entonces:
$P\{X \ge 2\}=P\{X=2\}+P\{X=3\}=\displaystyle \binom{3}{2}\cdot 0{,}6^2\cdot (1-0{,}6)^{3-2}=0{,}432$
b)
Si $P\{X \ge 1\} \succ 0{,}8$, entonces $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,\binom{n}{i}\cdot 0{,}6^i\cdot (1-0{,}6)^{n-i} \succ 0{,}8$. Procedemos, ahora, a ensayar valores crecientes de $n$ para ver si se cumple o no lo que se requiere en esta segunda pregunta. Es claro que con un disparo ( $n:=1$ ) la probabilidad de acertar es $0{,}6$ que es menor que $0{,}8$, por lo que el tirador debe realizar más de un disparo; probemos con $n:=2$ disparos, en este caso $P\{X \ge 1\}$ es igual a $\displaystyle \sum_{i=1}^{2}\,\displaystyle \binom{n}{i}\cdot 0{,}6^i\cdot (1-0{,}6)^{2-i}=0{,}84 \succ 0{,}8$, luego con dos disparos basta para que la probabilidad de acertar al menos una vez sea mayor que $0{,}8$
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Un ejercicio sobre una distribución binomial
ENUNCIADO. Sea $X$ una variable aleatoria binomial $B(n,p)$. La esperanza matemática de dicha variable es $5$, y la varianza es $\dfrac{10}{3}$. Se pide:
a) Los valores de $n$ y de $p$
b) Calcular la probabilidad de obtener exactamente cuatro éxitos.
SOLUCIÓN.
a)
Recordemos que la esperanza matemática para una distribución binomial se calcula mediante la fórmula $E[X]=np$, y la varianza con $V[X]=npq$, donde $p$ es la probabilidad de éxito y $q=1-p$ la de fracaso. Entonces, de la información del enunciado, podemos escribir: $$\left\{\begin{matrix}np&=&5\\ npq&=&\dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.$$ Dividiendo, miembro a miembro, la segunda ecuación entre la primera, $$\dfrac{npq}{np}=\dfrac{10/3}{5}$$ simplificando, encontramos que la probabilidad de fracaso es $$q=\dfrac{2}{3}$$ luego la probabilidad de éxito es $$p=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$$ Sustituyendo este resultado en la primera ecuación podemos calcular el valor de $n$, así, de $$\dfrac{1}{3}\cdot n=5$$ obtenemos $$n=15$$
b)
Calculemos, ahora, la probabilidad pedida:
$$P\{X=4\}= \displaystyle \binom{15}{4} \cdot \left(\dfrac{1}{3} \right)^{4} \cdot \left( \dfrac{2}{3} \right)^{15-4}\approx 0{,}1948$$
$\square$
a) Los valores de $n$ y de $p$
b) Calcular la probabilidad de obtener exactamente cuatro éxitos.
SOLUCIÓN.
a)
Recordemos que la esperanza matemática para una distribución binomial se calcula mediante la fórmula $E[X]=np$, y la varianza con $V[X]=npq$, donde $p$ es la probabilidad de éxito y $q=1-p$ la de fracaso. Entonces, de la información del enunciado, podemos escribir: $$\left\{\begin{matrix}np&=&5\\ npq&=&\dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.$$ Dividiendo, miembro a miembro, la segunda ecuación entre la primera, $$\dfrac{npq}{np}=\dfrac{10/3}{5}$$ simplificando, encontramos que la probabilidad de fracaso es $$q=\dfrac{2}{3}$$ luego la probabilidad de éxito es $$p=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$$ Sustituyendo este resultado en la primera ecuación podemos calcular el valor de $n$, así, de $$\dfrac{1}{3}\cdot n=5$$ obtenemos $$n=15$$
b)
Calculemos, ahora, la probabilidad pedida:
$$P\{X=4\}= \displaystyle \binom{15}{4} \cdot \left(\dfrac{1}{3} \right)^{4} \cdot \left( \dfrac{2}{3} \right)^{15-4}\approx 0{,}1948$$
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jueves, 2 de junio de 2016
El primer éxito tras un cierto número de fracasos ...
ENUNCIADO. En una urna hay $2$ bolas blancas y $10$ bolas negras. Realizamos extracciones sucesivas sin reemplazamiento hasta que salga la primera bola blanca. ¿ Cuál es la probabilidad de que ésta salga en la sexta extracción ? ¿ En qué extracción se espera que salga ( esperanza matemática de la variable aleatoria "número de orden de extracción en la que aparece bola blanca" ) ? ¿ Tiene ese valor ( la esperanza matemática ) mucha incertidumbre en este caso ?
SOLUCIÓN. El modelo geométrico de variable aleatoria se ajusta al experimento descrito, siendo los valores de la variable aleatoria: $\{1,2,\ldots,12\}$. Así, $P\{X=6\}=q^{6-1}\,p$, donde $p=\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}$ y $q\equiv 1-p=1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}$. Por tanto, $P\{X=6\}=\left(\dfrac{4}{5}\right)^{6-1} \cdot \dfrac{1}{5}=\dfrac{1024}{15625} \approx 0{,}0655$
La esperanza matemática en este modelo de distribución de probabilidad viene dado por $E[X]=\dfrac{1}{p}$, luego se espera que la bola blanca aparezca en el lanzamiento número $\dfrac{1}{1/5}=5$. La desviación estándar, $\sqrt{V[X]}$, es igual ( en este modelo ) a $\sqrt{\dfrac{1-p}{p^2}}$, que, con los datos del problema tiene el siguiente valor $\sqrt{\dfrac{1-1/5}{(4/5)^2}}=\sqrt{20} \approx 5$, muy alto en comparación con el de la esperanza matemática, lo cual indica que la incertidumbre de ésta es muy grande. $\square$
SOLUCIÓN. El modelo geométrico de variable aleatoria se ajusta al experimento descrito, siendo los valores de la variable aleatoria: $\{1,2,\ldots,12\}$. Así, $P\{X=6\}=q^{6-1}\,p$, donde $p=\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}$ y $q\equiv 1-p=1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}$. Por tanto, $P\{X=6\}=\left(\dfrac{4}{5}\right)^{6-1} \cdot \dfrac{1}{5}=\dfrac{1024}{15625} \approx 0{,}0655$
La esperanza matemática en este modelo de distribución de probabilidad viene dado por $E[X]=\dfrac{1}{p}$, luego se espera que la bola blanca aparezca en el lanzamiento número $\dfrac{1}{1/5}=5$. La desviación estándar, $\sqrt{V[X]}$, es igual ( en este modelo ) a $\sqrt{\dfrac{1-p}{p^2}}$, que, con los datos del problema tiene el siguiente valor $\sqrt{\dfrac{1-1/5}{(4/5)^2}}=\sqrt{20} \approx 5$, muy alto en comparación con el de la esperanza matemática, lo cual indica que la incertidumbre de ésta es muy grande. $\square$
miércoles, 1 de junio de 2016
Extracciones sucesivas de bolas de una urna
ENUNCIADO. En una urna hay $N$ bolas, de las cuales $n_b\le N$ son blancas y el resto de colores distintos al blanco. Realizamos $n$ extracciones sucesivas ( de bola ), ¿ cuál es la probabilidad de que aparezcan exactamente $x \le n$ bolas blancas ?
OBSERVACIÓN. Debemos distinguir dos maneras de realizar el experimento: a) con reemplazamiento de las bolas en la urna; y, b) sin reemplazamiento de las bolas en la urna
NOTA. Podemos dar respuesta a ambas preguntas siguiendo lo que llamaremos procedimiento rudimentario: Dibujamos un diagrama de árbol binario ( cada bola extraída puede ser blanca o no-blanca ) con $n$ niveles, escribiendo los $2^n$ sucesos de la experiencia aleatoria y distribuyendo la unidad de probabilidad ( de izquierda a derecha del diagrama ) [ se anota dicha probabilidad en el centro de cada arista, por aplicación directa de la regla de Laplace, eso sí, contemplando la parte del camino ( del árbol ) recorrida ] para, luego, calcular las probabilidades de cada uno de los sucesos que involucran exactamente a $x$ bolas blancas; y, finalmente, sumaremos los términos pertinentes. Así es como se suele hacer en los cursos de ESO. Ahora bien, este procedimiento es inviable si el número de bolas extraídas ( número de extracciones sucesivas ) $n$ no es un número pequeño ( pongamos que mayor que $4$ ) ya que la densidad del diagrama llega a ser excesiva. Evidentemente, las probabilidades de las aristas son distintas en una u otra condición de realización de la experiencia, por lo que los resultados son, claro está, distintos.
Podemos resolver el problema empleando dos procedimientos más, el primero se basa en la aplicación de los métodos combinatorios y aplicar la regla de Laplace ( con sucesos elementales equiprobables ); el segundo, que en realidad se desprende el primero, consiste en emplear el modelo de variable aleatoria ( de distribución de probabilidad ) que se ajuste a las condiciones en que se realiza la experiencia aleatoria.
SOLUCIÓN.
a) [Se reemplazan en la urna las bolas que se van sacando ]
Procedimiento I. Asumiendo que las bolas son distinguibles ( sin reparar en el color ), el espacio muestral de la experiencia aletoria estará formado por sucesos ( elementales ) equiprobables, con lo cual , podremos aplicar la regla de Laplace. Calcularemos el número total de posibilidades y el número de posibilidades favorables a un determinado suceso, aplicando los métodos combinatorios en estas condiciones del experimento. Así, por la regla de Laplace, la probabilidad del suceso $S$="obtener exactamente $x$ bolas blancas" es $P(S)=\dfrac{N(S)}{N}$ y, por tanto, $$P(S)=\dfrac{\text{PR}_{n}^{x,n-x}\cdot \text{VR}_{n_b,x}\cdot \text{VR}_{N-n_b,n-x}}{\text{VR}_{N,n}}$$
Procedimiento II ( distribución binomial ). Sea la variable aleatoria $X$: "número ( exacto ) de bolas blancas que aparecen en el conjunto de $x$ extracciones". Entonces, como las sucesivas extracciones se efectúan con reemplazamiento ( pruebas repetidas independientes ) con dos resultados posibles en cada extracción ( sacar 'bola blanca' o sacar 'bola no-blanca' ), $X$ sigue una distribución binomial $B(n,p)$, por tanto, la función de probabilidad ( o de cuantía ) vendrá dada por $$P\{X=x\}=\displaystyle \binom{n}{x}\cdot p^x \cdot (1-p)^{n-x}$$ donde
$x \in \{0,1,\ldots,m\}$
y
$p=\dfrac{N}{n_b}$ ( probabilidad de éxito, esto es, de sacar bola blanca en una extracción ); siendo, por tanto, la probabilidad de fracaso ( extraer bola no-blanca en una extracción ) $q:=1-p$
Aplicando las definiciones de esperanza matemática de la variable $X$, $E[X]\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sum_{i=0}^{4}\,x_i\cdot p_i$; de varianza, $V[X]\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sum_{i=0}^{4}\,(x_i - E[X])^2\cdot p_i$, y de desviación estándar, $DE[X]=\sqrt{V[X]}$, obtenemos las fórmulas para calcular el valor de los parámetros que caracterizan dicha distribución:
$$E[X]=n\,p$$
$$V[X]=n\, p\,q$$
y
$$DE[X]=\sqrt{n\, p \, q}$$
b) [No se reemplazan en la urna las bolas que se van sacando ]
Procedimiento I. Hemos establecido que las bolas son distinguibles ( sin reparar en el color ), luego ( recordemos que ) el espacio muestral de la experiencia aletoria estará formado por sucesos ( elementales ) equiprobables, con lo cual , podremos aplicar la regla de Laplace. Calcularemos el número total de posibilidades y el número de posibilidades favorables a un determinado suceso, aplicando los métodos combinatorios. Así, aplicando los métodos combinatorios en estas condiciones del experimento. Por la regla de Laplace, la probabilidad del suceso $S$="obtener exactamente $x$ bolas blancas" es $P(S)=\dfrac{N(S)}{N}$ y, por tanto, $$P(S)=\dfrac{\text{C}_{n_b,x}\cdot \text{C}_{N-n_b,n-x}}{\text{C}_{N,n}}=\displaystyle \dfrac{\binom{n_b}{x}\cdot \binom{N-n_b}{n-x}}{\binom{N}{n}}$$
Procedimiento II ( distribución hipergeométrica ). La fórmula anterior da pie a que, variando el valor de $x$, nos expresemos en términos de variable aleatoria: Sea la variable aleatoria $X$: "número ( exacto ) de bolas blancas que aparecen en el conjunto de $x$ extracciones". Entonces, como las sucesivas extracciones se efectúan con reemplazamiento ( pruebas repetidas independientes ) con dos resultados posibles en cada extracción ( sacar 'bola blanca' o sacar 'bola no-blanca' ), $X$ sigue una distribución hipergeométrica, por tanto la función de probabilidad ( o de cuantía ) viene dada por $$P\{X=x\}=\displaystyle \dfrac{\binom{n_b}{x}\cdot \binom{N-n_b}{n-x}}{\binom{N}{n}}$$.
Aplicando las definiciones de esperanza matemática, varianza, y desviación estándar de la variable $X $, obtenemos las fórmulas para calcular el valor de los parámetros que caracterizan dicha distribución:
$$E[X]=n\,p\,, \quad \text{donde}\quad p:=\dfrac{n_b}{N}$$
$$V[X]=n\, p\,q \cdot \dfrac{N-n}{N-1}$$
y
$$DE[X]=\sqrt{n\, p\,q \cdot (\dfrac{N-n}{N-1})}$$
OBSERVACIÓN. Debemos distinguir dos maneras de realizar el experimento: a) con reemplazamiento de las bolas en la urna; y, b) sin reemplazamiento de las bolas en la urna
NOTA. Podemos dar respuesta a ambas preguntas siguiendo lo que llamaremos procedimiento rudimentario: Dibujamos un diagrama de árbol binario ( cada bola extraída puede ser blanca o no-blanca ) con $n$ niveles, escribiendo los $2^n$ sucesos de la experiencia aleatoria y distribuyendo la unidad de probabilidad ( de izquierda a derecha del diagrama ) [ se anota dicha probabilidad en el centro de cada arista, por aplicación directa de la regla de Laplace, eso sí, contemplando la parte del camino ( del árbol ) recorrida ] para, luego, calcular las probabilidades de cada uno de los sucesos que involucran exactamente a $x$ bolas blancas; y, finalmente, sumaremos los términos pertinentes. Así es como se suele hacer en los cursos de ESO. Ahora bien, este procedimiento es inviable si el número de bolas extraídas ( número de extracciones sucesivas ) $n$ no es un número pequeño ( pongamos que mayor que $4$ ) ya que la densidad del diagrama llega a ser excesiva. Evidentemente, las probabilidades de las aristas son distintas en una u otra condición de realización de la experiencia, por lo que los resultados son, claro está, distintos.
Podemos resolver el problema empleando dos procedimientos más, el primero se basa en la aplicación de los métodos combinatorios y aplicar la regla de Laplace ( con sucesos elementales equiprobables ); el segundo, que en realidad se desprende el primero, consiste en emplear el modelo de variable aleatoria ( de distribución de probabilidad ) que se ajuste a las condiciones en que se realiza la experiencia aleatoria.
SOLUCIÓN.
a) [Se reemplazan en la urna las bolas que se van sacando ]
Procedimiento I. Asumiendo que las bolas son distinguibles ( sin reparar en el color ), el espacio muestral de la experiencia aletoria estará formado por sucesos ( elementales ) equiprobables, con lo cual , podremos aplicar la regla de Laplace. Calcularemos el número total de posibilidades y el número de posibilidades favorables a un determinado suceso, aplicando los métodos combinatorios en estas condiciones del experimento. Así, por la regla de Laplace, la probabilidad del suceso $S$="obtener exactamente $x$ bolas blancas" es $P(S)=\dfrac{N(S)}{N}$ y, por tanto, $$P(S)=\dfrac{\text{PR}_{n}^{x,n-x}\cdot \text{VR}_{n_b,x}\cdot \text{VR}_{N-n_b,n-x}}{\text{VR}_{N,n}}$$
Procedimiento II ( distribución binomial ). Sea la variable aleatoria $X$: "número ( exacto ) de bolas blancas que aparecen en el conjunto de $x$ extracciones". Entonces, como las sucesivas extracciones se efectúan con reemplazamiento ( pruebas repetidas independientes ) con dos resultados posibles en cada extracción ( sacar 'bola blanca' o sacar 'bola no-blanca' ), $X$ sigue una distribución binomial $B(n,p)$, por tanto, la función de probabilidad ( o de cuantía ) vendrá dada por $$P\{X=x\}=\displaystyle \binom{n}{x}\cdot p^x \cdot (1-p)^{n-x}$$ donde
$x \in \{0,1,\ldots,m\}$
y
$p=\dfrac{N}{n_b}$ ( probabilidad de éxito, esto es, de sacar bola blanca en una extracción ); siendo, por tanto, la probabilidad de fracaso ( extraer bola no-blanca en una extracción ) $q:=1-p$
Aplicando las definiciones de esperanza matemática de la variable $X$, $E[X]\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sum_{i=0}^{4}\,x_i\cdot p_i$; de varianza, $V[X]\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sum_{i=0}^{4}\,(x_i - E[X])^2\cdot p_i$, y de desviación estándar, $DE[X]=\sqrt{V[X]}$, obtenemos las fórmulas para calcular el valor de los parámetros que caracterizan dicha distribución:
$$E[X]=n\,p$$
$$V[X]=n\, p\,q$$
y
$$DE[X]=\sqrt{n\, p \, q}$$
b) [No se reemplazan en la urna las bolas que se van sacando ]
Procedimiento I. Hemos establecido que las bolas son distinguibles ( sin reparar en el color ), luego ( recordemos que ) el espacio muestral de la experiencia aletoria estará formado por sucesos ( elementales ) equiprobables, con lo cual , podremos aplicar la regla de Laplace. Calcularemos el número total de posibilidades y el número de posibilidades favorables a un determinado suceso, aplicando los métodos combinatorios. Así, aplicando los métodos combinatorios en estas condiciones del experimento. Por la regla de Laplace, la probabilidad del suceso $S$="obtener exactamente $x$ bolas blancas" es $P(S)=\dfrac{N(S)}{N}$ y, por tanto, $$P(S)=\dfrac{\text{C}_{n_b,x}\cdot \text{C}_{N-n_b,n-x}}{\text{C}_{N,n}}=\displaystyle \dfrac{\binom{n_b}{x}\cdot \binom{N-n_b}{n-x}}{\binom{N}{n}}$$
Procedimiento II ( distribución hipergeométrica ). La fórmula anterior da pie a que, variando el valor de $x$, nos expresemos en términos de variable aleatoria: Sea la variable aleatoria $X$: "número ( exacto ) de bolas blancas que aparecen en el conjunto de $x$ extracciones". Entonces, como las sucesivas extracciones se efectúan con reemplazamiento ( pruebas repetidas independientes ) con dos resultados posibles en cada extracción ( sacar 'bola blanca' o sacar 'bola no-blanca' ), $X$ sigue una distribución hipergeométrica, por tanto la función de probabilidad ( o de cuantía ) viene dada por $$P\{X=x\}=\displaystyle \dfrac{\binom{n_b}{x}\cdot \binom{N-n_b}{n-x}}{\binom{N}{n}}$$.
Aplicando las definiciones de esperanza matemática, varianza, y desviación estándar de la variable $X $, obtenemos las fórmulas para calcular el valor de los parámetros que caracterizan dicha distribución:
$$E[X]=n\,p\,, \quad \text{donde}\quad p:=\dfrac{n_b}{N}$$
$$V[X]=n\, p\,q \cdot \dfrac{N-n}{N-1}$$
y
$$DE[X]=\sqrt{n\, p\,q \cdot (\dfrac{N-n}{N-1})}$$
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