ENUNCIADO. En un taller de mecanizado, un cierta máquina tiene $2$ averías cada $10$ días ( laborables ). Se pide:
a) ¿ Cuál es la probabilidad de que no se dé ninguna avería en ese intervalo de tiempo ? ¿ Y de que se dé alguna avería ?
b) ¿ Cuál es la probabilidad de que se produzcan exactamente $5$ averías en ese intervalo de tiempo ?
c) ¿ Cuál es la probabilidad de que no se produzca ninguna avería en un intervalo de $20$ días ? ¿ Y de que se dé alguna avería ?
AYUDA. Si un evento se da de forma muy ocasional ( que podría ser el caso que se describe aquí ), la variable aleatoria número de veces que se produce tal evento en un cierto intervalo de tiempo sigue una distribución de Poisson de parámetro $\lambda$ ( que representa el número de averías que se dan en un dicho intervalo de tiempo ). La función de probabilidad ( de cuantía ) de dicho modelo discreto viene dado por $f(k)\equiv P\{X=k\}=\dfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^k}{k!}$. En una distribución de Poisson, $E[X]=V[X]=\lambda$.
SOLUCIÓN.
La variable aleatoria número de averías que se producen cada $10$ días toma valores en el conjunto $\{0,1,2,\ldots,k,\ldots\}$ y sigue una distribución de Poisson de parámetro $\lambda$. Entonces:
a)
En este caso la variable de Poisson $X$ se caracteriza por el parámetro $\lambda=2$ averías cada $10$ días, luego $P\{X=0\}=\dfrac{e^{-2}\cdot 2^0}{0!}=e^{-2} \approx 0{,}1353$. Por tanto, la probabilidad de que se dé al menos una avería en un intervalo de $10$ días es igual a $1-0{,}1353=0{,}8647$
b)
Con la misma variable de Poisson que en el apartado anterior, obtenemos $P\{X=5\}=\dfrac{e^{-2}\cdot 2^5}{5!} \approx 0{,}036$
c)
Al manejar, ahora, otro intervalo de tiempo, hablaremos de otra variable de Poisson, a la que denotamos por $Y$. La variable $Y$ también toma valores en el conjunto $\{0,1,2,\ldots,k,\ldots\}$ ), y su distribución viene caracterizada por el parámetro $\lambda=2 \times $(número de intervalos de diez días comprendidos en un intervalo de 20 días)$=2 \cdot \dfrac{20}{10}=4$ averías cada 10 días, por tanto $P\{Y=0\}=\dfrac{e^{-4}\cdot 4^0}{0!}=e^{-4} \approx 0{,}0183$. Luego, la probabilidad de que se dé al menos una avería en un intervalo de $20$ días es igual a $1-0{,}0183=0{,}9817$
$\square$
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