ENUNCIADO. Se lanzan tres dados de parchís, ¿ cuál es la probabilidad de que la suma de puntuaciones sea un número primero menor que $10$ ?.
SOLUCIÓN. El espacio muestral consta de $6^3=216$ elementos, que son las ternas de números $(i,j,k)$, donde cada $i,j$ y $k$ toma valores en $\{1,2,3,4,5,6\}$. Todos los elementos de este espacio muestral son igualmente probables, por lo que podemos aplicar la regla de Laplace. Entre los valores de la suma $\{3,4,5,6,\ldots,18\}$, sólo hay tres números primos menores que $10$, que son: $3$, $5$ y $7$.
Veamos ahora, de cuántas maneras puede aparecer cada uno de estos valores de la suma:
1) El valor de la suma igual a $3$, sólo puede obtenerse mediante los números terna $(1,1,1)$; y hay una única forma de hacerlo, pues $PR_{3}^{3}=\dfrac{3!}{3!}=1$
2) El valor de la suma igual a $5$, se puede dar ( por ejemplo ) con los números de la terna $(1,2,2)$, y, por tanto, de un total de $PR_{3}^{2,1}=3$ forma distintas ( permutando los elementos de la terna ); también se puede formar el número primo $5$ mediante los números $(1,1,3)$, con lo cual tenemos $3$ maneras más de dar el número primo $5$; en total, por tanto, se puede dar de $3+3=6$ maneras.
3) El valor de la suma igual a $7$, se puede dar con los números de las ternas $(1,2,4)$, $(1,1,5)$, $(2,2,3)$ y $(1,3,3)$, y, por tanto, hay $P_3+3\cdot PR_{3}^{2,1}=3!+3\cdot \dfrac{3!}{2!\cdot 1!}=15$ maneras de formar el número primo $7$.
Así, hay $1+6+15=22$ maneras de obtener los números primos menores que $10$ ( esto es, $3$, $5$ y $7$ ). Aplicando la regla de Laplace, encontramos que la probabilidad pedida es $\dfrac{22}{216}=\dfrac{11}{108} \approx 0{,}1019$
$\square$
