ENUNCIADO. En una urna hay $N$ bolas, de las cuales $n_b\le N$ son blancas y el resto de colores distintos al blanco. Realizamos $n$ extracciones sucesivas ( de bola ), ¿ cuál es la probabilidad de que aparezcan exactamente $x \le n$ bolas blancas ?
OBSERVACIÓN. Debemos distinguir dos maneras de realizar el experimento: a) con reemplazamiento de las bolas en la urna; y, b) sin reemplazamiento de las bolas en la urna
NOTA. Podemos dar respuesta a ambas preguntas siguiendo lo que llamaremos procedimiento rudimentario: Dibujamos un diagrama de árbol binario ( cada bola extraída puede ser blanca o no-blanca ) con $n$ niveles, escribiendo los $2^n$ sucesos de la experiencia aleatoria y distribuyendo la unidad de probabilidad ( de izquierda a derecha del diagrama ) [ se anota dicha probabilidad en el centro de cada arista, por aplicación directa de la regla de Laplace, eso sí, contemplando la parte del camino ( del árbol ) recorrida ] para, luego, calcular las probabilidades de cada uno de los sucesos que involucran exactamente a $x$ bolas blancas; y, finalmente, sumaremos los términos pertinentes. Así es como se suele hacer en los cursos de ESO. Ahora bien, este procedimiento es inviable si el número de bolas extraídas ( número de extracciones sucesivas ) $n$ no es un número pequeño ( pongamos que mayor que $4$ ) ya que la densidad del diagrama llega a ser excesiva. Evidentemente, las probabilidades de las aristas son distintas en una u otra condición de realización de la experiencia, por lo que los resultados son, claro está, distintos.
Podemos resolver el problema empleando dos procedimientos más, el primero se basa en la aplicación de los métodos combinatorios y aplicar la regla de Laplace ( con sucesos elementales equiprobables ); el segundo, que en realidad se desprende el primero, consiste en emplear el modelo de variable aleatoria ( de distribución de probabilidad ) que se ajuste a las condiciones en que se realiza la experiencia aleatoria.
SOLUCIÓN.
a) [Se reemplazan en la urna las bolas que se van sacando ]
Procedimiento I. Asumiendo que las bolas son distinguibles ( sin reparar en el color ), el espacio muestral de la experiencia aletoria estará formado por sucesos ( elementales ) equiprobables, con lo cual , podremos aplicar la regla de Laplace. Calcularemos el número total de posibilidades y el número de posibilidades favorables a un determinado suceso, aplicando los métodos combinatorios en estas condiciones del experimento. Así, por la regla de Laplace, la probabilidad del suceso $S$="obtener exactamente $x$ bolas blancas" es $P(S)=\dfrac{N(S)}{N}$ y, por tanto, $$P(S)=\dfrac{\text{PR}_{n}^{x,n-x}\cdot \text{VR}_{n_b,x}\cdot \text{VR}_{N-n_b,n-x}}{\text{VR}_{N,n}}$$
Procedimiento II ( distribución binomial ). Sea la variable aleatoria $X$: "número ( exacto ) de bolas blancas que aparecen en el conjunto de $x$ extracciones". Entonces, como las sucesivas extracciones se efectúan con reemplazamiento ( pruebas repetidas independientes ) con dos resultados posibles en cada extracción ( sacar 'bola blanca' o sacar 'bola no-blanca' ), $X$ sigue una distribución binomial $B(n,p)$, por tanto, la función de probabilidad ( o de cuantía ) vendrá dada por $$P\{X=x\}=\displaystyle \binom{n}{x}\cdot p^x \cdot (1-p)^{n-x}$$ donde
$x \in \{0,1,\ldots,m\}$
y
$p=\dfrac{N}{n_b}$ ( probabilidad de éxito, esto es, de sacar bola blanca en una extracción ); siendo, por tanto, la probabilidad de fracaso ( extraer bola no-blanca en una extracción ) $q:=1-p$
Aplicando las definiciones de esperanza matemática de la variable $X$, $E[X]\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sum_{i=0}^{4}\,x_i\cdot p_i$; de varianza, $V[X]\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sum_{i=0}^{4}\,(x_i - E[X])^2\cdot p_i$, y de desviación estándar, $DE[X]=\sqrt{V[X]}$, obtenemos las fórmulas para calcular el valor de los parámetros que caracterizan dicha distribución:
$$E[X]=n\,p$$
$$V[X]=n\, p\,q$$
y
$$DE[X]=\sqrt{n\, p \, q}$$
b) [No se reemplazan en la urna las bolas que se van sacando ]
Procedimiento I. Hemos establecido que las bolas son distinguibles ( sin reparar en el color ), luego ( recordemos que ) el espacio muestral de la experiencia aletoria estará formado por sucesos ( elementales ) equiprobables, con lo cual , podremos aplicar la regla de Laplace. Calcularemos el número total de posibilidades y el número de posibilidades favorables a un determinado suceso, aplicando los métodos combinatorios. Así, aplicando los métodos combinatorios en estas condiciones del experimento. Por la regla de Laplace, la probabilidad del suceso $S$="obtener exactamente $x$ bolas blancas" es $P(S)=\dfrac{N(S)}{N}$ y, por tanto, $$P(S)=\dfrac{\text{C}_{n_b,x}\cdot \text{C}_{N-n_b,n-x}}{\text{C}_{N,n}}=\displaystyle \dfrac{\binom{n_b}{x}\cdot \binom{N-n_b}{n-x}}{\binom{N}{n}}$$
Procedimiento II ( distribución hipergeométrica ). La fórmula anterior da pie a que, variando el valor de $x$, nos expresemos en términos de variable aleatoria: Sea la variable aleatoria $X$: "número ( exacto ) de bolas blancas que aparecen en el conjunto de $x$ extracciones". Entonces, como las sucesivas extracciones se efectúan con reemplazamiento ( pruebas repetidas independientes ) con dos resultados posibles en cada extracción ( sacar 'bola blanca' o sacar 'bola no-blanca' ), $X$ sigue una distribución hipergeométrica, por tanto la función de probabilidad ( o de cuantía ) viene dada por $$P\{X=x\}=\displaystyle \dfrac{\binom{n_b}{x}\cdot \binom{N-n_b}{n-x}}{\binom{N}{n}}$$.
Aplicando las definiciones de esperanza matemática, varianza, y desviación estándar de la variable $X $, obtenemos las fórmulas para calcular el valor de los parámetros que caracterizan dicha distribución:
$$E[X]=n\,p\,, \quad \text{donde}\quad p:=\dfrac{n_b}{N}$$
$$V[X]=n\, p\,q \cdot \dfrac{N-n}{N-1}$$
y
$$DE[X]=\sqrt{n\, p\,q \cdot (\dfrac{N-n}{N-1})}$$
