ENUNCIADO. Se considera una moneda tal que la probabilidad de que salga cara al ser lanzada sea $\dfrac{3}{4}$. Imaginemos que se realizan $500$ lanzamientos de la moneda. Se pide:
a) ¿ Cuál es el valor de la esperanza matemática del número de caras obtenido ? ¿ Y el de la desviación estándar correspondiente ?
b) Calcular la probabilidad de que el número de caras que se hayan obtenido sea mayor que $359$ y menor que $391$
SOLUCIÓN.
La variable aleatoria natural de la situación que se describe en el problema es $X:B(n\,,\,p)$, siendo el número de realizaciones $n=500$ y la probabilidad de éxito ( que aparezca cara al lanzar la moneda una vez ) $p=3/4$, por lo que la probabilidad de fracaso ( que aparezca cruz ) es $q=1-p=1/4$
a)
La esperanza matemática ( o valor esperado ) en este modelo ( binomial ) de distribución discreta es $E[X]=n\,p=500 \cdot \dfrac{3}{4}=375$ caras, y la varianza es $V[X]=n\,p\,q=500\cdot \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{4} = 93{,}75$, luego la desviación estándar del número esperado de caras es $DE[X]=\sqrt{V[X]}=\sqrt{93{,}75} \approx 9{,}68$ caras.
b)
Para calcular la probabilidad pedida, $P\{360 \le X \le 390\}$, podemos aproximar $X$ por una variable $Y:N(n\,p\,,\,\sqrt{n\,p\,q})$, esto es, por $Y:N(375\,,\,9{,}68)$ ya que se cumplen las condiciones suficientes para ello: $n\,p=375 \succ 5 $ y $n\,q=500\cdot \dfrac{1}{4}=125 \succ 5$.
Así,
$P\{360 \le X \le 390\} \approx P\{360-0{,}5 \le Y \le 390+0{,}5\}$, haciendo también la corrección de continuidad ( o de Yates )
tipificando la variable $X$, $Z=\dfrac{Z-\mu}{\sigma}$ ( que es una $N(0,1) $, donde $\mu=375$ y $\sigma = 9{,}68$, con lo cual la probabilidad que buscamos es
$P\{\dfrac{359{,}5-375}{9{,}68} \le Z \le \dfrac{390{,}5-375}{9{,}68}\}$
esto es ( aproximando las abscisas a dos dígitos decimales ):
$P\{-1{,}60 \le Z \le 1{,}60\}=$
$=P\{Z \le 1{,}60\}-P\{Z \le -1{,}60\}$
$=P\{Z \le 1{,}60\}-P\{Z \ge 1{,}60\}$, por la simetría de la función de densidad $f(z)$
$=P\{Z \le 1{,}60\}-( 1-P\{Z \le 1{,}60\})$, por la propiedad del contrario
$=2\,P\{Z \le 1{,}60\}-1$
$=2\,F(1{,}60)-1$
$=2 \cdot 0{,}9452-1$ ( consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad $F(z)$ )
$=0{,}8904$
$\square$
