ENUNCIADO. En una urna hay $N:=13$ bolas, de las cuales $n_b:=8$ son blancas y el resto de colores distintos al blanco. Realizamos $n:=4$ extracciones sucesivas ( de bola ). Mediante el uso del modelo de variable aleatoria adecuado [leer este artículo], calcular la probabilidad de que aparezcan exactamente $x:=3$ bolas blancas, en las siguientes condiciones:
a) las extracciones se realizan con reemplazamiento
b) las extracciones se realizan sin reemplazamiento
SOLUCIÓN.
a)
El modelo de variable aleatoria que se ajusta a este experimento es el de la distribución binomial, representando la variable $X$ el número de bolas blancas que se pueden dar: $\{0,1,2,3,4\}$, luego el valor de la función de probabilidad binomial para $X=3$ es $$P\{X=3\}=\displaystyle \binom{4}{3}\,(\dfrac{8}{13})^{3}\cdot (1-\dfrac{8}{13})^{4-3}=0{,}3585 \quad ( \text{con cuatro dígitos significativos} )$$
OBSERVACIÓN: También podemos resolver el problema sin emplear la función de probabilidad del modelo binomial: aplicando los métodos combinatorios. En estas condiciones del experimento y por la regla de Laplace, la probabilidad del suceso $S$="obtener exactamente $x:=3$ bolas blancas" es $P(S)=\dfrac{N(S)}{N}$ y, por tanto, $$P(S)=\dfrac{\text{PR}_{4}^{3,4-1}\cdot \text{VR}_{8,3}\cdot \text{VR}_{5,1}}{\text{VR}_{13,4}}=0{,}3585 \quad ( \text{con cuatro dígitos significativos} )$$
b)
El modelo de variable aleatoria que se ajusta a este experimento es el de la distribución hipergeométrica, representando la variable $X$ el número de bolas blancas que se pueden dar: $\{0,1,2,3,4\}$, luego el valor de la función de probabilidad hipergeométrica para $X=3$ es $$P\{X=3\}=\displaystyle \dfrac{\binom{8}{3}\cdot \binom{13-8}{4-3}}{\binom{13}{4}}=0{,}3916 \quad ( \text{con cuatro dígitos significativos} )$$
OBSERVACIÓN: Recordemos que la función de probabilidad hipergeométrica se deduce aplicando los métodos combinatorios adecuados a este caso.
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