ENUNCIADO. En una caja hay $3$ bolas negras y $2$ bolas blancas. Se extraen tres bolas de la urna, de forma sucesiva y con reemplazamiento. Se pide:
a) La probabilidad de que al menos una de las tres bolas sea blanca
b) La probabilidad de que ninguna sea negra
SOLUCIÓN.
a)
La probabilidad de que al sacar una bola sea blanca es $p=\dfrac{2}{5}$ y de que sea negra $q=1-p=\dfrac{3}{5}$. La variable aleatoria que manejamos, $X$, sigue una distribución binomial $B(3,2/5)$ y toma valores en el conjunto de números enteros no negativos $\{0,1,2,3\}$. Así, $P\{X\ge 1\}=P\{X=1\}+P\{X=2\}+P\{X=3\}$ (1) y como la función de probabilidad ( o de cuantía ) para este modelo de distribución viene dada por $$P\{X=x\}=\displaystyle \binom{n}{x}\,p^x\,q^{n-x}$$ la probabilidad pedida (1) es
$P\{X\ge 1\}=\displaystyle \binom{3}{1}\,p^1\,q^{3-1}+\binom{3}{2}\,p^2\,q^{3-2}+\binom{3}{3}\,p^3\,q^{3-3}$
$=\displaystyle \binom{3}{1}\,(2/5)^1\,(3/5)^{3-1}+\binom{3}{2}\,(2/5)^2\,(3/5)^{3-2}+\binom{3}{3}\,(2/5)^3\,(3/5)^{3-3}$
$=\dfrac{98}{125}= 78{,}4\,\% $
b)
P("ninguna sea negra")=P("las tres bolas sean blancas")=$=P\{X=3\}=\displaystyle \binom{3}{3}\,(2/5)^3\,(3/5)^{3-3}=\dfrac{8}{125} \approx 6{,}4\,\%$
$\square$
