ENUNCIADO. Considerar un determinado avión bimotor. Se sabe que, en condiciones adversas, el motor de estribor ha tenido un fallo cada cien pruebas, y que el motor de babor ha tenido un fallo cada doscientas pruebas. En situaciones de vuelo parecidas a las pruebas realizadas, se pide:
a) ¿ cuál es la probabilidad de que fallen los dos motores a la vez ?
b) ¿ cuál es la probabilidad de que, en el avión bimotor, se dé un fallo de propulsión en un sólo motor ?
c) Si el avión ha tenido un fallo de propulsión en uno de los dos motores, ¿ cuál es la probabilidad de que el motor averiado haya sido el de babor ? ¿ Y de que se haya averiado el motor de estribor ?
SOLUCIÓN. Denominamos $E$ al suceso "falla el motor de estribor"; denominamos $B$ al suceso "falla el motor de babor", y denominamos $F$ al suceso, "fallo de propulsión en el avión".
a)
Es razonable suponer que los suscesos $E$ y $F$ son independientes y, por tanto $P(E \cap B)=P(E)\cdot P(B)= \dfrac{1}{100}\cdot \dfrac{1}{200}=\dfrac{1}{20000}=0{,}005\,\%$
Comentario: Teniendo en cuenta que un avión bimotor puede volar ( si bien en situación de emergencia ) con un sólo motor y que un avión monomotor con el motor averiado ya no puede hacerlo, es más seguro volar en bimotor ( sin tener en cuenta otras causas de averías que las de propulsión ) que hacerlo en un avión monomotor, pues la probabilidad calculada es mucho menor que cualquiera de las probabilidades de fallo de un sólo motor.
b)
El que falle la propulsión lo podemos escribir así, $F=(F \cap B ) \cup (F \cap E)$; como, además, nos interesamos por los posibles fallos de propulsión ocasionados por la avería de uno sólo de los motores ( lo que equivale a suponer que los sucesos $F \cap B$ y $F \cap E$ son disjuntos ( incompatibles ), la probabilidad total ( teorema de la probabilidad total ) es $$P(F)=P(F \cap E)+P(F \cap B)$$ es decir
$$P(F)=P(F|E)\cdot P(E)+P(F|B)\cdot P(B)$$
Como no hay razón para pensar que la probabilidad de que se de la causa del fallo de motores ( por ejemplo, una tormenta de arena en el desierto ) no sea la misma en un motor que en otro, $P(E)=P(B)=\dfrac{1}{2}$, entonces
$$P(F)=\dfrac{1}{100}\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{100}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{200}=0{,}015=1{,}5\,\%$$
c)
Por el teorema de Bayes, podemos escribir $$P(B|F)=\dfrac{P(F|B)\cdot P(B)}{P(F)}=\dfrac{(1/100)\cdot (1/2)}{(3/200)}=\dfrac{1}{3} \approx 33\,\%$$
y $$P(E|F)=\dfrac{P(F|E)\cdot P(E)}{P(F)}=\dfrac{(1/200)\cdot (1/2)}{(3/200)}=\dfrac{1}{6} \approx 17\,\%$$
$\square$
