Aplicación de los teoremas de la Probabilidad Total y de Bayes

ENUNCIADO. En un instituto hay $180$ chicas matriculadas ( de las cuales $10$ estudian francés ) y $190$ chicos matriculados ( de los cuales $25$ estudian francés ). Se elige ( al azar ) una persona matriculada en dicho instituto.
a) Calcular la probabilidad de que la persona elegida estudie francés
b) La persona elegida estudia francés, ¿ cuál es la probabilidad de que sea una chica ? ¿ y de que sea un chico ?

SOLUCIÓN.
Denotemos por $M$ al suceso elegir una chica; por $V$ al suceso elegir un chico, y por $F$ al suceso elegir una persona matriculada en el instituto que estudie francés. Entonces:
a)
Como $M$ y $V$ constituyen un conjunto completo de sucesos, por el teorema de la Probabilidad Total podemos escribir $$P(F)=P(F|M)\cdot P(M)+P(F|V)\cdot P(V)$$ y poniendo los datos del enunciado $$P(F)=\dfrac{10}{180} \cdot \dfrac{180}{180+190}+\dfrac{25}{190}\cdot \dfrac{190}{180+190}=\dfrac{7}{74} \approx 9{,}5,\%$$

b)
Por el teorema de Bayes $$P(M|F)=\dfrac{P(F|M}{P(F)}$$ y poniendo los datos $$P(M|F)=\dfrac{1/37}{7/74}=\dfrac{2}{7} \approx 28{,}6\,\%$$ por otra parte $$P(V|F)=P(\bar{M}|F)=1-\dfrac{2}{7}=\dfrac{5}{7} \approx 71{,}4\,\%$$
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El vuelo del Fénix

ENUNCIADO. Considerar un determinado avión bimotor. Se sabe que, en condiciones adversas, el motor de estribor ha tenido un fallo cada cien pruebas, y que el motor de babor ha tenido un fallo cada doscientas pruebas. En situaciones de vuelo parecidas a las pruebas realizadas, se pide:
a) ¿ cuál es la probabilidad de que fallen los dos motores a la vez ?
b) ¿ cuál es la probabilidad de que, en el avión bimotor, se dé un fallo de propulsión en un sólo motor ?
c) Si el avión ha tenido un fallo de propulsión en uno de los dos motores, ¿ cuál es la probabilidad de que el motor averiado haya sido el de babor ? ¿ Y de que se haya averiado el motor de estribor ?

SOLUCIÓN. Denominamos $E$ al suceso "falla el motor de estribor"; denominamos $B$ al suceso "falla el motor de babor", y denominamos $F$ al suceso, "fallo de propulsión en el avión".
a)
Es razonable suponer que los suscesos $E$ y $F$ son independientes y, por tanto $P(E \cap B)=P(E)\cdot P(B)= \dfrac{1}{100}\cdot \dfrac{1}{200}=\dfrac{1}{20000}=0{,}005\,\%$

Comentario: Teniendo en cuenta que un avión bimotor puede volar ( si bien en situación de emergencia ) con un sólo motor y que un avión monomotor con el motor averiado ya no puede hacerlo, es más seguro volar en bimotor ( sin tener en cuenta otras causas de averías que las de propulsión ) que hacerlo en un avión monomotor, pues la probabilidad calculada es mucho menor que cualquiera de las probabilidades de fallo de un sólo motor.


b)
El que falle la propulsión lo podemos escribir así, $F=(F \cap B ) \cup (F \cap E)$; como, además, nos interesamos por los posibles fallos de propulsión ocasionados por la avería de uno sólo de los motores ( lo que equivale a suponer que los sucesos $F \cap B$ y $F \cap E$ son disjuntos ( incompatibles ), la probabilidad total ( teorema de la probabilidad total ) es $$P(F)=P(F \cap E)+P(F \cap B)$$ es decir
$$P(F)=P(F|E)\cdot P(E)+P(F|B)\cdot P(B)$$
Como no hay razón para pensar que la probabilidad de que se de la causa del fallo de motores ( por ejemplo, una tormenta de arena en el desierto ) no sea la misma en un motor que en otro, $P(E)=P(B)=\dfrac{1}{2}$, entonces
$$P(F)=\dfrac{1}{100}\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{100}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{200}=0{,}015=1{,}5\,\%$$

c)
Por el teorema de Bayes, podemos escribir $$P(B|F)=\dfrac{P(F|B)\cdot P(B)}{P(F)}=\dfrac{(1/100)\cdot (1/2)}{(3/200)}=\dfrac{1}{3} \approx 33\,\%$$
y $$P(E|F)=\dfrac{P(F|E)\cdot P(E)}{P(F)}=\dfrac{(1/200)\cdot (1/2)}{(3/200)}=\dfrac{1}{6} \approx 17\,\%$$

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¿ Es justo el siguiente sorteo ?

ENUNCIADO. En un grupo hay $3$ personas. Sorteamos un premio y, para ello, colocamos en una urna $2$ bolas blancas y $1$ bola negra. A continuación, una persona tras otra van sacando una bola de la urna, hasta que alguien saca la bola negra y se le otorga el premio. Demostrar que este sistema de otorgar el premio es justo, en el sentido que cada persona tiene la misma probabilidad de conseguirlo. ¿ Cuál es esa probabilidad ?

SOLUCIÓN. Llamemos $G_1$ al suceso otorgar el premio a la primera persona; $G_2$, a otorgarlo a la segunda persona, y $G_3$ a otorgarlo a la tercera. Para determinar si el sorteo es justo, debemos calcular las probabilidades de estos tres sucesos y comprobar que son iguales.

Aplicando la regla de Laplace, $P(G_1)=\dfrac{1}{3}$.

Calculemos, ahora, la probabilidad de $G_2$; $P(G_2)=P(G_2|\bar{G_1})\cdot P(\bar{G_1})$, siendo $P(\bar{G_1)}=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$ y $P(G_2|\bar{G_1})=\dfrac{1}{2}$ ( puesto que de las tres bolas, se han extraído una bola blanca, quedando en la urna una bola blanca y una bola negra ); así, $P(G_2)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$.

Finalmente, calculemos la probabilidad de $G_3$, $P(G_3)=P(G_3 | \bar{G_1} \cap \bar{G_2} )\cdot P(\bar{G_1} \cap \bar{G_2}) \quad \quad (1)$; donde $P((G_3 | \bar{G_1} \cap \bar{G_2} )=1$, pues habiéndose extraído dos bolas blancas, sólo queda la negra ( que es la que extrae la tercera persona ); por otra parte, $P(\bar{G_1} \cap \bar{G_3})=P(\overline{G_1 \cup G_3)}$ ( por la primera ley de Morgan ), aplicando ahora la propiedad del contrario resulta $P(\bar{G_1} \cap \bar{G_3})=1-P(G_1 \cup G_2)$, y como $G_1$ y $G_2$ son sucesos excluyentes ( incompatatibles ), $P(G_1 \cup G_2)=P(G_1)+P(G_2)=2 \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$. Así, de (1), $P(G_3)=1 \cdot ( 1- \dfrac{2}{3})=\dfrac{1}{3}$.

En conclusión, como $P(G_1)=P(G_2)=P(G_3)=\dfrac{1}{3}$, podemos asegurar que el sorteo es justo. $\square$

Una urna contiene ... ( Artículo escrita en catalán )

Enunciat:
Una urna A conté 3 boles vermelles i 1 bola blanca; una altra urna B conté 5 boles vermelles i 2 boles blanques, i una tercera urna c conté 1 bola vermella i 2 boles blanques. Escollim a l'atzar una de les tres urnes i, a continuació, fem l'extracció (a l'atzar) d'una de les boles que conté. Calculeu la probabilitat que:
  a) la bola sigui blanca
  b) sigui una bola de la urna A, sabent que la bola és blanca

Resolució:
apartat a)
Anomenem:
  A al succés a l'atzar "escollir la urna A"; B, al succés a l'atzar "escollir la urna B"; i C, al succés "escollir a l'atzar la urna C".

Per altra banda, designem amb la lletra W el succés "extraure una bola blanca" (d'una de les tres urnes, escollida aleatòriament).

D'acord amb el teorema de la probabilitat total podem escriure
$P(W)=P(W|A)\cdot P(A)+P(W|B)\cdot P(B)+P(W|C)\cdot P(C) \quad \quad (1)$

Tenint en compte el contingut de cada urna, assignem les probabilitats condicionades corresponents d'acord amb el principi de Laplace
$P(W|A)=\dfrac{1}{4}$
$P(W|B)=\dfrac{2}{7}$
$P(W|A)=\dfrac{2}{3}$

Pel que fa a l'elecció de la urna, cal suposar que els successos A, B i C, són equiprobables i, d'acord amb el principi de Laplace
$P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac{1}{3}$

Substituint aquests coeficients de probabilitat a l'expressió (1) trobem la probabilitat demanada
$P(W)=\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{3}+ \dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{3}$
    $=\dfrac{101}{252}\approx 40 \text{\%}$

apartat b)
Del teorema de Bayes tenim que
$P(A|W)=\dfrac{P(W|A)\cdot P(A)}{P(W)}$

            $=\dfrac{\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{3}}{\dfrac{101}{252}}$

            $=\dfrac{21}{101}$

            $\approx 21 \,\%$

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[nota del autor]