ENUNCIADO. En un grupo hay $3$ personas. Sorteamos un premio y, para ello, colocamos en una urna $2$ bolas blancas y $1$ bola negra. A continuación, una persona tras otra van sacando una bola de la urna, hasta que alguien saca la bola negra y se le otorga el premio. Demostrar que este sistema de otorgar el premio es justo, en el sentido que cada persona tiene la misma probabilidad de conseguirlo. ¿ Cuál es esa probabilidad ?
SOLUCIÓN. Llamemos $G_1$ al suceso otorgar el premio a la primera persona; $G_2$, a otorgarlo a la segunda persona, y $G_3$ a otorgarlo a la tercera. Para determinar si el sorteo es justo, debemos calcular las probabilidades de estos tres sucesos y comprobar que son iguales.
Aplicando la regla de Laplace, $P(G_1)=\dfrac{1}{3}$.
Calculemos, ahora, la probabilidad de $G_2$; $P(G_2)=P(G_2|\bar{G_1})\cdot P(\bar{G_1})$, siendo $P(\bar{G_1)}=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$ y $P(G_2|\bar{G_1})=\dfrac{1}{2}$ ( puesto que de las tres bolas, se han extraído una bola blanca, quedando en la urna una bola blanca y una bola negra ); así, $P(G_2)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$.
Finalmente, calculemos la probabilidad de $G_3$, $P(G_3)=P(G_3 | \bar{G_1} \cap \bar{G_2} )\cdot P(\bar{G_1} \cap \bar{G_2}) \quad \quad (1)$; donde $P((G_3 | \bar{G_1} \cap \bar{G_2} )=1$, pues habiéndose extraído dos bolas blancas, sólo queda la negra ( que es la que extrae la tercera persona ); por otra parte, $P(\bar{G_1} \cap \bar{G_3})=P(\overline{G_1 \cup G_3)}$ ( por la primera ley de Morgan ), aplicando ahora la propiedad del contrario resulta $P(\bar{G_1} \cap \bar{G_3})=1-P(G_1 \cup G_2)$, y como $G_1$ y $G_2$ son sucesos excluyentes ( incompatatibles ), $P(G_1 \cup G_2)=P(G_1)+P(G_2)=2 \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$. Así, de (1), $P(G_3)=1 \cdot ( 1- \dfrac{2}{3})=\dfrac{1}{3}$.
En conclusión, como $P(G_1)=P(G_2)=P(G_3)=\dfrac{1}{3}$, podemos asegurar que el sorteo es justo. $\square$
