ENUNCIADO. Queremos comprar cuatro latas de refrescos. En la tienda tienen 6 tipos distintos de refrescos. ¿ Cuántas posibilidades tenemos de elegir los cuatro refrescos que nos vamos a llevar ?.
SOLUCIÓN. Como no importa el orden en que elijamos los refrescos y, además, en la elección que hacemos podemos repetirlos ( por ejemplo, podemos llevarnos cuatro del mismo tipo ), estamos ante un caso de combinaciones con repetición, que responde al problema patrón de distribuir $n=4$ "bolas idénticas" ( número de refrescos que queremos comprar ) en $r=6$ "urnas" ( tipos de refrescos a elegir ), cuya solución viene dada por las combinaciones con repetición $\text{CR}_{r,n}$, esto es, $$\dfrac{(n+(r-1))!}{n!\cdot (r-1)!}=\binom{n+r-1}{r-1}=\binom{r+n-1}{n} \quad \quad (1)$$
Así, el número de maneras de elegir nuestra compra es $$\dfrac{(4+(6-1))!}{4! \cdot (6-1)!}=\binom{4+(6-1)}{6-1}=\binom{4+(6-1)}{4}=126$$ que es la solución al problema de encontrar de cuantas maneras podemos repartir $4$ símbolos idénticos ( bolas ) en un hilera de $6$ compartimentos ( urnas ) separadas por tabiques de la forma ( por ejemplo, [**|||*||*] sería una de estas posibles distribuciones ), tal como ya se ha explicado en el el problema de encontrar de cuántas fichas debe constar el juego del dominó.
Nota: Las combinaciones con repetición de $n$ elementos de un conjunto en $r$ clases, $CR_{r,n}$m también puede designarse de la forma $\displaystyle \left(\binom{r}{n}\right)$
$\square$
