Otra forma de ver las permutaciones con repetición

¿De cuántas maneras podemos ordenar un conjunto formado por $3$ bolas rojas, $2$ bolas azules y $4$ bolas verdes, atendiendo únicamente al color de las bolas?

Al no importar el orden de las bolas del mismo color dentro del grupo de dicho color, el número de maneras en las que podemos elegir $3$ bolas rojas entre un total de $3+4+2=9$ bolas es $\displaystyle \binom{9}{3}$; por otra parte, elegidas ya esas $tres$ bolas rojas (nos quedan $9-3$ bolas por elegir), el número de maneras de elegir $4$ bolas verdes entre esas $9-3$ bolas es $\displaystyle \binom{9-3}{4}$, y, como ya hemos empleado $3+4$ bolas en esas dos primeras operaciones, el número de maneras de elegir $2$ bolas azules entre el remanente de bolas disponible $9-3-4$ es $\displaystyle \binom{9-3-4}{2}$. Empleando finalmente el principio de independencia combinatoria, el número de ordenaciones es $$\binom{9}{3}\cdot \binom{9-3}{4} \cdot \binom{9-3-4}{2}=\dfrac{9!}{3!\cdot 4!\cdot 2!}$$ que coincide con el resultado de aplicar directamente la fórmula de permutaciones con repetición que aparece en los libros de texto: $PR_{n_1,n_2,\ldots,n_k}^{n_1+n_2+\ldots+n_k}:=\dfrac{(n_1+n_2+\ldots+n_k)!}{n_{1}!\cdot n_{2}!\cdot \ldots n_{k}!}$, que en nuestro caso se concreta en $PR_{3,4,2}^{3+4+2}=\dfrac{(3+4+2)!}{3!\cdot 4!\cdot 2!}$. $\diamond$

Poniendo libros en un estante

ENUNCIADO. ¿ De cuántas maneras podemos ordenar 3 libros de matemáticas, 2 libros de economía, y 3 diccionarios en un estante ?. Nota: los libros de matemáticas son distintos entre sí, y lo mismo ocurre con los de economía y con los diccionarios.

SOLUCIÓN. Distinguiremos tres casos, en función de las restricciones que pongamos en la disposición de los libros en el estante:

(a)
Imaginemos que ponemos los tres diccionarios juntos, entonces los podemos ordenar de $3!$ maneras distintas; haciendo lo mismo con los libros de matemáticas, tenemos también $3!$ maneras de ponerlos; y con los dos libros de economía, $2!$. Entonces, por el principio elecciones independientes, tenemos $3! \cdot 2! \cdot 3!=72$ posibilidades; esta sería la solución si no contemplamos que los libros de un tipo se mezclen con los de los otros tipos ( por ejemplo, evitando que un libro de matemáticas esté flanqueado por dos de poesía ), y, además, establecemos tres compartimentos fijos en el estante ( uno para los libros de matemáticas, otro para los libros de economía, y otro más para los diccionarios).

-oOo-
(b)
En caso de poder cambiar los grupos de compartimento, debemos multiplicar la solución de (a) por las permutaciones de $3$ ( estantes ), y por tanto, nos salen, ahora, $3! \cdot (3! \cdot 2! \cdot 3!)=432$ posibilidades.

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(c)
Cabe considerar un tercer caso, que corresponde a que no haya ningún tipo de restricción en la ordenación. Así, el problema se reduce a calcular las permutaciones de $3+3+2=8$ objetos ( todos distintos ), y, por tanto tendremos ahora un total de $8!=40\,320$ posibilidades.

Nota: Observemos que esta cantidad sale también de multiplicar el resultado del caso (a) por el número de maneras de mezclar los libros de un tipos con los de los dos tipos restantes, y esto viene dado por $\text{PR}_{3+2+3}^{3,2,3}=\dfrac{8!}{3! \cdot 2! \cdot 3!}$; por tanto, el número de ordenaciones posibles es $$\text{PR}_{3+2+3}^{3,2,3} \cdot 3! \cdot 2! \cdot 3!=\dfrac{8!}{3! \cdot 2! \cdot 3!} \cdot 3! \cdot 2! \cdot 3!=8!=40\,320$$

$\square$

Distribuyendo n bolas distintas en r urnas

ENUNCIADO. ¿ De cuántas maneras podemos repartir $n$ bolas distintas en $r$ urnas ?

SOLUCIÓN. Debemos tener en cuenta que entre las distintas posibilidades, puede suceder que haya urnas sin ninguna bola; incluso todas las bolas podrían estar en una misma urna. Para contabilizar el número de posibilidades, debemos darnos cuenta de que estamos ante un problema de variaciones con repetición de $s$ objetos tomados de $t$ en $t$ ( en grupos de $t$ elementos ). Veamos por qué. Imaginemos una hilera de $t:=n$ compartimentos ( o celdas ) -- cuidado: no confundir compartimento con urna --, uno por cada bola, cuyo contenido será el número de posibilidades de elección de urna, que es igual a $s:=r$. Así, el contenido del primer compartimento lo podemos elegir de $r$ maneras ( urnas ) distintas [ la primera bola puede estar en cualquiera de las $r$ urnas ]; lo mismo sucede con el segundo compartimento ( su contenido lo podemos elegir de $r$ maneras distintas, pues recordemos que varias bolas pueden estar en el mismo compartimento ); y, así, razonando igual hasta la $n$-ésima bola (compartimento). Por consiguiente, por el principio multiplicativo, tendremos un total de $$r\cdot r \overset{\underbrace{n}}{\ldots}r=r^n \;\text{posibilidades}$$

Nota: Podemos pues decir que la solución a este problema es un caso de variaciones con repetición de $s:=r$ objetos ( que son las urnas ) tomados en grupos de $t:=n$ ( que es el número de bolas ), esto es , $VR_{s,t}=s^t$, que, en este caso se concreta en $r^n$. Pero, cuidado: Siempre es mejor pensar en analogías o patrones que utilizar ciegamente las fórmulas ( pues, a menudo, los identificadores literales de las mismas pueden aparecer en el orden semántico cambiado, si bien, por convenio, el primer subíndice indica ( siempre ) el número de objetos -- aquí es $r$ urnas -- y el segundo, de cuánto en cuánto los tomamos -- aquí es $n$, y representa, aquí, el número de bolas --). Desaconsejamos pues, vivamente, esta segunda vía ( la de la aplicación irreflexiva de las fórmulas ), que es aparentemente cómoda y segura, pero peligrosa, por lo fácil que es que nos confundamos.

EJEMPLO. ¿ De cuántas maneras podemos distribuir $3$ lápices ( de distintos colores ) entre $2$ niños ?

SOLUCIÓN. En esta situación, imaginamos un compartimento ( urna ) por cada lápiz, por tanto $t:=3$ ); los destinatarios de los compartimentos son los ( dos ) niños, luego $s:=2$. Establecida esta analogía, es claro que podemos "asignar niño" ( bola ) a cada lápiz ( urna ) de $2$ maneras; y, como hay $3$ lápices ( compartimentos o celdas ), por el principio multiplicativo obtenemos un total de $$2\cdot 2 \cdot 2 = 2^2=8 \; \text{maneras distintas de distribuir los lápices}$$

Nota: Si nos atenemos a la fórmula, la aplicación de la fórmula, $VR_{s,t}=s^t$, se concreta aquí en $VR_{2,3}=2^3=8 \; \text{maneras de distribuir los lápices}$

$\square$

Combinatoria con bolas y urnas

ENUNCIADO. En una urna hay $10$ bolas, de las cuales $6$ están pintadas de blanco y el resto de otros colores. Calcular de cuántas maneras podemos seleccionar $4$ bolas de la urna, entre las cuales haya, exactamente, $2$ bolas blancas; atendiendo a las siguientes maneras sacar las cuatro bolas:
a) Sacando las cuatro una a una, reemplazando la bola extraída en la urna antes de sacar la siguiente bola.
b) Sacando las cuatro bolas a la vez

ENUNCIADO.
a)
En el primer caso, las elecciones de bolas sucesivas son independientes, por lo que atendiendo al hecho de que importa el orden en que sacamos las bolas, y aplicando el principio de elecciones independientes en tres fases [ la idea empleada aquí es parecida a la que se aplica en este otro problema ], nos encontramos con $$\text{PR}_{4}^{2,2}\cdot \text{VR}_{6,2} \cdot \text{VR}_{10-6,2}=3456 \; \text{posibilidades}$$
b)
En este caso, podemos contemplar la extracción conjunta del grupo de $4$ bolas, como si se extrajesen ( también ) de forma sucesiva, pero sin reemplazar las bola que se ha sacado al ir a extraer la siguiente bola; decimos, por tanto, que estas extracciones sucesivas son dependientes. Al sacar las bolas de esta manera, aplicando el principio de independencia de elección en dos fases, sin tener en cuenta el orden en que disponemos la bolas extraídas, vemos que el número de configuraciones posibles es $$\displaystyle \binom{6}{2}\cdot \binom{10-6}{4-2}=90 \; \text{posibilidades}$$

$\square$

Desembalando una caja de libros ...

ENUNCIADO. Desembalando una caja de libros que contiene $10$ libros distintos de poesía, $12$ novelas distintas, y $6$ libros distintos de matemáticas, seleccionamos $12$ libros: $4$ libros de poesía, $5$ novelas y $3$ libros de matemáticas, para ponerlos, uno al lado del otro, en un estante. ¿ De cuántas maneras podemos hacer eso ?.

SOLUCIÓN. En este problema hay que considerar el orden en que pongamos los libros, pues todos son distintos, y, además, hay tres categorías a las que cada uno de esos libros puede pertenecer. Teniendo en cuenta esto, calcularemos, primero: el número de maneras en que podemos escoger el grupo de libros de poesía es $V_{10,4}$; el número de maneras de formar el grupo de novelas es $V_{12,5}$, y el número de maneras de formar el grupo de libros de matemáticas es $V_{6,3}$. Entonces, por el principio de elecciones independientes ( de cada uno de los tres grupos ), hay $V_{10,4} \cdot V_{12,5} \cdot V_{6,3}$ maneras de disponer los $12$ libros, evitando ( en un principio ) que los libros de las tres categorías se intercalen unos con otros.

Ahora bien, en principio, podemos mezclar dichas categorías pues, por ejemplo, aceptamos que un libro de poesía esté entre dos libros de matemáticas -- no pretendemos clasificar los libros por categorías, pues no se dice nada al respecto en el enunciado --, con lo cual faltará, además, multiplicar por el número de maneras de permutar los libros atendiendo a la categoría a la que pertenecen ( poesía, novela, o matemáticas ); para ello, podemos imaginar que colocamos una etiqueta de un color distinto para cada categoría en cada uno de los libros, luego el factor multiplicativo que falta corresponde al número de maneras en que podemos permutar un conjunto de $4+5+3$ etiquetas de color, entre las cuales haya $4$ de un primer color, $5$ de un segundo color, y $3$ de un tercero, esto es, $\text{PR}_{4+5+3}^{4,5,3}$

Aplicando de nuevo el principio de elecciones independientes en las fases del proceso, encontramos el siguiente número de maneras de disponer los libros en el estante:
$\text{PR}_{4+5+3}^{4,5,3} \cdot V_{10,4} \cdot V_{12,5} \cdot V_{6,3}= \dfrac{12!}{4!\cdot 5! \cdot 3!}\cdot (10\cdot 9 \cdot 8 \cdot 7) \cdot (12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 ) \cdot ( 6 \cdot 5 \cdot 4)$
que es un número muy grande: $$N\sim 10^{15}$$

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De cuántas maneras podemos formar un equipo compuesto de chicos y chicas de forma que ...

ENUNCIADO. En un aula hay $10$ chicas y $12$ chicos. Se quiere formar un equipo de $6$ personas, en el que haya $2$ chicas y $4$ chicos. ¿ De cuántas maneras se puede hacer ?.

SOLUCIÓN. El número de maneras de escoger $2$ chicas entre $10$ que hay en el aula es igual a $C_{10,2}=\binom{12}{2}=45$, habida cuenta de que no importa el orden de la selección. Por otra parte, el número de maneras de escoger $4$ chicos entre los los $12$ chicos que hay en el aula es igual a $C_{12,4}=\binom{12}{4}=495$. Finalmente, teniendo en cuenta el principio de elecciones independientes ( o principio multiplicativo ): por cada manera de escoger el grupo de chicas hay $495$ maneras de escoger el grupo de chicos ( y vice versa ), por tanto el número total de posibilidades es igual a $45\cdot 495 = 22275$. $\square$

Un caso de combinaciones con repetición

ENUNCIADO. Queremos comprar cuatro latas de refrescos. En la tienda tienen 6 tipos distintos de refrescos. ¿ Cuántas posibilidades tenemos de elegir los cuatro refrescos que nos vamos a llevar ?.

SOLUCIÓN. Como no importa el orden en que elijamos los refrescos y, además, en la elección que hacemos podemos repetirlos ( por ejemplo, podemos llevarnos cuatro del mismo tipo ), estamos ante un caso de combinaciones con repetición, que responde al problema patrón de distribuir $n=4$ "bolas idénticas" ( número de refrescos que queremos comprar ) en $r=6$ "urnas" ( tipos de refrescos a elegir ), cuya solución viene dada por las combinaciones con repetición $\text{CR}_{r,n}$, esto es, $$\dfrac{(n+(r-1))!}{n!\cdot (r-1)!}=\binom{n+r-1}{r-1}=\binom{r+n-1}{n} \quad \quad (1)$$
Así, el número de maneras de elegir nuestra compra es $$\dfrac{(4+(6-1))!}{4! \cdot (6-1)!}=\binom{4+(6-1)}{6-1}=\binom{4+(6-1)}{4}=126$$ que es la solución al problema de encontrar de cuantas maneras podemos repartir $4$ símbolos idénticos ( bolas ) en un hilera de $6$ compartimentos ( urnas ) separadas por tabiques de la forma ( por ejemplo, [**|||*||*] sería una de estas posibles distribuciones ), tal como ya se ha explicado en el el problema de encontrar de cuántas fichas debe constar el juego del dominó.

Nota: Las combinaciones con repetición de $n$ elementos de un conjunto en $r$ clases, $CR_{r,n}$m también puede designarse de la forma $\displaystyle \left(\binom{r}{n}\right)$ $\square$

Un grupo de 12 personas quieren alojarse en ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un grup de 12 persones es volen allotjar en un refugi de muntanya. Hi han tres habitacions disponibles: a la primera hi han dos llits, a la segona quatre, i a la tercera sis. De quantes maneres es poden ordenar ?

Solució:
Pel principi multiplicatiu i tenint en compte que els llits són indistingibles i que per tant no importa l'ordre amb què les persones que van a una determinada habitació escullen els llits, tenim un total de
    $C_{12,2}\cdot C_{12-2,4}\cdot C_{12-(2+4),6} = 13860 \; \text{possibilitats}$

[nota del autor]