Otra forma de ver las permutaciones con repetición

¿De cuántas maneras podemos ordenar un conjunto formado por $3$ bolas rojas, $2$ bolas azules y $4$ bolas verdes, atendiendo únicamente al color de las bolas?

Al no importar el orden de las bolas del mismo color dentro del grupo de dicho color, el número de maneras en las que podemos elegir $3$ bolas rojas entre un total de $3+4+2=9$ bolas es $\displaystyle \binom{9}{3}$; por otra parte, elegidas ya esas $tres$ bolas rojas (nos quedan $9-3$ bolas por elegir), el número de maneras de elegir $4$ bolas verdes entre esas $9-3$ bolas es $\displaystyle \binom{9-3}{4}$, y, como ya hemos empleado $3+4$ bolas en esas dos primeras operaciones, el número de maneras de elegir $2$ bolas azules entre el remanente de bolas disponible $9-3-4$ es $\displaystyle \binom{9-3-4}{2}$. Empleando finalmente el principio de independencia combinatoria, el número de ordenaciones es $$\binom{9}{3}\cdot \binom{9-3}{4} \cdot \binom{9-3-4}{2}=\dfrac{9!}{3!\cdot 4!\cdot 2!}$$ que coincide con el resultado de aplicar directamente la fórmula de permutaciones con repetición que aparece en los libros de texto: $PR_{n_1,n_2,\ldots,n_k}^{n_1+n_2+\ldots+n_k}:=\dfrac{(n_1+n_2+\ldots+n_k)!}{n_{1}!\cdot n_{2}!\cdot \ldots n_{k}!}$, que en nuestro caso se concreta en $PR_{3,4,2}^{3+4+2}=\dfrac{(3+4+2)!}{3!\cdot 4!\cdot 2!}$. $\diamond$

Desembalando una caja de libros ...

ENUNCIADO. Desembalando una caja de libros que contiene $10$ libros distintos de poesía, $12$ novelas distintas, y $6$ libros distintos de matemáticas, seleccionamos $12$ libros: $4$ libros de poesía, $5$ novelas y $3$ libros de matemáticas, para ponerlos, uno al lado del otro, en un estante. ¿ De cuántas maneras podemos hacer eso ?.

SOLUCIÓN. En este problema hay que considerar el orden en que pongamos los libros, pues todos son distintos, y, además, hay tres categorías a las que cada uno de esos libros puede pertenecer. Teniendo en cuenta esto, calcularemos, primero: el número de maneras en que podemos escoger el grupo de libros de poesía es $V_{10,4}$; el número de maneras de formar el grupo de novelas es $V_{12,5}$, y el número de maneras de formar el grupo de libros de matemáticas es $V_{6,3}$. Entonces, por el principio de elecciones independientes ( de cada uno de los tres grupos ), hay $V_{10,4} \cdot V_{12,5} \cdot V_{6,3}$ maneras de disponer los $12$ libros, evitando ( en un principio ) que los libros de las tres categorías se intercalen unos con otros.

Ahora bien, en principio, podemos mezclar dichas categorías pues, por ejemplo, aceptamos que un libro de poesía esté entre dos libros de matemáticas -- no pretendemos clasificar los libros por categorías, pues no se dice nada al respecto en el enunciado --, con lo cual faltará, además, multiplicar por el número de maneras de permutar los libros atendiendo a la categoría a la que pertenecen ( poesía, novela, o matemáticas ); para ello, podemos imaginar que colocamos una etiqueta de un color distinto para cada categoría en cada uno de los libros, luego el factor multiplicativo que falta corresponde al número de maneras en que podemos permutar un conjunto de $4+5+3$ etiquetas de color, entre las cuales haya $4$ de un primer color, $5$ de un segundo color, y $3$ de un tercero, esto es, $\text{PR}_{4+5+3}^{4,5,3}$

Aplicando de nuevo el principio de elecciones independientes en las fases del proceso, encontramos el siguiente número de maneras de disponer los libros en el estante:
$\text{PR}_{4+5+3}^{4,5,3} \cdot V_{10,4} \cdot V_{12,5} \cdot V_{6,3}= \dfrac{12!}{4!\cdot 5! \cdot 3!}\cdot (10\cdot 9 \cdot 8 \cdot 7) \cdot (12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 ) \cdot ( 6 \cdot 5 \cdot 4)$
que es un número muy grande: $$N\sim 10^{15}$$

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