Distribuyendo n bolas distintas en r urnas

ENUNCIADO. ¿ De cuántas maneras podemos repartir $n$ bolas distintas en $r$ urnas ?

SOLUCIÓN. Debemos tener en cuenta que entre las distintas posibilidades, puede suceder que haya urnas sin ninguna bola; incluso todas las bolas podrían estar en una misma urna. Para contabilizar el número de posibilidades, debemos darnos cuenta de que estamos ante un problema de variaciones con repetición de $s$ objetos tomados de $t$ en $t$ ( en grupos de $t$ elementos ). Veamos por qué. Imaginemos una hilera de $t:=n$ compartimentos ( o celdas ) -- cuidado: no confundir compartimento con urna --, uno por cada bola, cuyo contenido será el número de posibilidades de elección de urna, que es igual a $s:=r$. Así, el contenido del primer compartimento lo podemos elegir de $r$ maneras ( urnas ) distintas [ la primera bola puede estar en cualquiera de las $r$ urnas ]; lo mismo sucede con el segundo compartimento ( su contenido lo podemos elegir de $r$ maneras distintas, pues recordemos que varias bolas pueden estar en el mismo compartimento ); y, así, razonando igual hasta la $n$-ésima bola (compartimento). Por consiguiente, por el principio multiplicativo, tendremos un total de $$r\cdot r \overset{\underbrace{n}}{\ldots}r=r^n \;\text{posibilidades}$$

Nota: Podemos pues decir que la solución a este problema es un caso de variaciones con repetición de $s:=r$ objetos ( que son las urnas ) tomados en grupos de $t:=n$ ( que es el número de bolas ), esto es , $VR_{s,t}=s^t$, que, en este caso se concreta en $r^n$. Pero, cuidado: Siempre es mejor pensar en analogías o patrones que utilizar ciegamente las fórmulas ( pues, a menudo, los identificadores literales de las mismas pueden aparecer en el orden semántico cambiado, si bien, por convenio, el primer subíndice indica ( siempre ) el número de objetos -- aquí es $r$ urnas -- y el segundo, de cuánto en cuánto los tomamos -- aquí es $n$, y representa, aquí, el número de bolas --). Desaconsejamos pues, vivamente, esta segunda vía ( la de la aplicación irreflexiva de las fórmulas ), que es aparentemente cómoda y segura, pero peligrosa, por lo fácil que es que nos confundamos.

EJEMPLO. ¿ De cuántas maneras podemos distribuir $3$ lápices ( de distintos colores ) entre $2$ niños ?

SOLUCIÓN. En esta situación, imaginamos un compartimento ( urna ) por cada lápiz, por tanto $t:=3$ ); los destinatarios de los compartimentos son los ( dos ) niños, luego $s:=2$. Establecida esta analogía, es claro que podemos "asignar niño" ( bola ) a cada lápiz ( urna ) de $2$ maneras; y, como hay $3$ lápices ( compartimentos o celdas ), por el principio multiplicativo obtenemos un total de $$2\cdot 2 \cdot 2 = 2^2=8 \; \text{maneras distintas de distribuir los lápices}$$

Nota: Si nos atenemos a la fórmula, la aplicación de la fórmula, $VR_{s,t}=s^t$, se concreta aquí en $VR_{2,3}=2^3=8 \; \text{maneras de distribuir los lápices}$

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