ENUNCIADO.
Cuatro personas se montan en el ascensor de un edificio de diez plantas. El ascensor sube hasta la décima planta, realizando paradas intermedias. ¿ Cuál es la probabilidad de que al menos dos personas se bajen en la misma planta ?
SOLUCIÓN.
Ante el desconocimiento de los destinos de planta de las cuatro personas, supondremos que las éstas se bajan al azar, y, además, que cada una de ellas decide la planta en la que baja de modo independiente a las decisiones de las demás. En estas condiciones, vamos a dar respuesta a las preguntas:
Sea $A$ el sucesos "al menos dos personas se bajan en la misma planta". Así, el suceso $\bar{A}$ representa el suceso contrario: "ninguna de las cuatro coinciden en la planta de destino". Calcularemos, primero, la probabilidad de $\bar{A}$ y, a partir de ésta, la probabilidad de $A$, aplicando la propiedad del contrario.
De entre las diez plantas, la primera persona que escojamos puede elegir planta de diez maneras; por lo tanto la segunda puede elegir la planta donde bajarse de entre $10-1$ ( de un total de $10$); la tercera, de $10-2$ ( de un total de $10$ ) y la cuarta de $10-3$ ( de un total de $10$ ). Así, $$P(\bar{A})=\dfrac{10}{10} \cdot \dfrac{9}{10} \cdot \dfrac{8}{10} \cdot \dfrac{7}{10}=\dfrac{63}{125}$$
o lo que es lo mismo $$P(\bar{A})=\dfrac{V_{10,4}}{VR_{10,4}}$$
Con lo cual, por la propiedad de la probabilidad del contrario, podemos escribir
$$P(A)=1-P(\bar{A})$$
es decir
$$P(A)=1-\dfrac{V_{10,4}}{VR_{10,4}}$$
esto es
$$P(A)=1-\dfrac{63}{125}=\dfrac{62}{125} \approx 0,496$$
$\square$
