Aplicación de los teoremas de la probabilidad total y de Bayes

ENUNCIADO. En un instituto hay $160$ chicas matriculadas ( de las cuales $35$ estudian alemán ) y $150$ chicos matriculados ( de los cuales $40$ estudian alemán ). Se elige ( al azar ) una persona matriculada en dicho instituto.
a) Calcular la probabilidad de que la persona elegida estudie alemán
b) Sabiendo que la persona elegida estudia alemán, ¿ cuál es la probabilidad de que sea una chica ? ¿ y de que sea un chico ?.

SOLUCIÓN. Denotemos los sucesos que se refieren a las características de una persona elegida al azar y que intervienen en el planteamiento del problema de la siguiente manera:
$A$: estudiar alemán
$M$: ser mujer
$V$: ser varón

a) Entonces, $$A=(A \cap M) \cup ( A \cap V)$$ Los sucesos que figuran entre paréntesis, en el segundo miembro, son incompatibles y constituyen una partición del espacio muestral $\Omega$ asociado a la experiencia aleatoria 'elegir una persona', luego $$P(A)=P(A \cap M) + P(A \cap V)$$ y por la definición de probabilidad de sucesos condicionados podemos escribir lo anterior de la forma $$P(A)=P(A|M)\,P(M)+P(A|V)\,P(V)$$ Teniendo ahora en cuenta los datos del problema, $$P(A)=\dfrac{35}{160}\cdot \dfrac{160}{160+150}+\dfrac{40}{150}\cdot \dfrac{150}{160+150}=\dfrac{15}{62}\approx 24\,\%$$

b)
Por el teorema de Bayes, podemos escribir $$P(M|A)=\dfrac{P(A|M)\,P(M)}{P(A)}$$ luego, con los datos, resulta $$P(M|A)=\dfrac{(35/160)\cdot (160/(160+150))}{15/62}=\dfrac{7}{15}\approx 47\,\%$$ y procediendo de manera análoga para $P(M|V)$, $$P(M|V)=\dfrac{P(V|M)\,P(M)}{P(A)}$$ resultando $$P(M|V)=\dfrac{(40/150)\cdot (150/(160+150))}{15/62}=\dfrac{8}{15}\approx 53\,\%$$
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Aplicación de los teoremas de la Probabilidad Total y de Bayes

ENUNCIADO. En un instituto hay $180$ chicas matriculadas ( de las cuales $10$ estudian francés ) y $190$ chicos matriculados ( de los cuales $25$ estudian francés ). Se elige ( al azar ) una persona matriculada en dicho instituto.
a) Calcular la probabilidad de que la persona elegida estudie francés
b) La persona elegida estudia francés, ¿ cuál es la probabilidad de que sea una chica ? ¿ y de que sea un chico ?

SOLUCIÓN.
Denotemos por $M$ al suceso elegir una chica; por $V$ al suceso elegir un chico, y por $F$ al suceso elegir una persona matriculada en el instituto que estudie francés. Entonces:
a)
Como $M$ y $V$ constituyen un conjunto completo de sucesos, por el teorema de la Probabilidad Total podemos escribir $$P(F)=P(F|M)\cdot P(M)+P(F|V)\cdot P(V)$$ y poniendo los datos del enunciado $$P(F)=\dfrac{10}{180} \cdot \dfrac{180}{180+190}+\dfrac{25}{190}\cdot \dfrac{190}{180+190}=\dfrac{7}{74} \approx 9{,}5,\%$$

b)
Por el teorema de Bayes $$P(M|F)=\dfrac{P(F|M}{P(F)}$$ y poniendo los datos $$P(M|F)=\dfrac{1/37}{7/74}=\dfrac{2}{7} \approx 28{,}6\,\%$$ por otra parte $$P(V|F)=P(\bar{M}|F)=1-\dfrac{2}{7}=\dfrac{5}{7} \approx 71{,}4\,\%$$
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Un ejercicio sobre los teoremas de la Probabilidad Total y de Bayes

ENUNCIADO. Un cajón contiene: $6$ tarjetas blancas, de las cuales $2$ tienen pintado un círculo rojo; y, $10$ tarjetas negras, de las cuales $3$ también tienen pintado un círculo rojo. Se elige una tarjeta al azar. Se pide:
a) Calcular la probabilidad de que la tarjeta elegida tenga pintado un círculo rojo
b) La tarjeta elegida ha resultado tener pintado un círculo rojo y no sabemos de qué color es la tarjeta, ¿ cuál es la probabilidad de que sea blanca ? ¿ y de que sea negra ?

SOLUCIÓN.

Denotemos por $B$ al suceso "extraer tarjeta blanca"; por $N$, al suceso "extraer tarjeta negra", y por $R$ al sucesos "extraer tarjeta con círculo rojo". Entonces:

a)
$R=(R \cap B ) \cup ( R \cap N )$, luego $P(R)=P((R \cap B ) \cup ( R \cap N ))$ y como $R \cap B$ y $R \cap N$ son sucesos disjuntos ( incompatibles ), podemos escribir $$P(R)=P(R \cap B ) + P( R \cap N )$$ y por la definición de probabilidad condicionada, llegamos a la expresión de la probabilidad total $$P(R)=P(R | B)\cdot P(B) + P( R | N )\cdot P(N)$$ que, con los datos del problema, queda
$$P(R)=\dfrac{2}{6}\cdot \dfrac{6}{16} + \dfrac{3}{10}\cdot \dfrac{10}{16}=\dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{16}=\dfrac{5}{16}\approx 31\,\%$$

b)
Por el teorema de Bayes, $$P(B|R)=\dfrac{P(R|B}{P(R)}$$ luego $$P(B|R)=\dfrac{1/8}{5/16}=\dfrac{2}{5}=40\,\%$$

y, finalmente, $P(N|R)=P(\bar{B}|R)=1-P(B|R)$, luego
$$P(N|R)=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}=60\,\%$$

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Teoremas de la Probabilidad Total y de Bayes ( extrayendo cartas de una baraja )

ENUNCIADO. ¿ Cuál es la probabilidad de que al extraer ( al azar ) una carta de una baraja española ( de 48 cartas ) sea figura ?

SOLUCIÓN. La respuesta a esta pregunta es evidente si aplicamos directamente la regla de Laplace: el número de figuras por palo es $3$ y hay $4$ palos en una baraja, luego el número de figuras de la baraja es $3 \cdot 4 = 12$; por tanto, la probabilidad pedida es $\dfrac{12}{48}$, es decir, $\dfrac{1}{4}$.

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Aprovecharemos sin embargo la situación que se plantea en este problema para resolverlo de otra forma, empleando el teorema de la Probabilidad Total, pues resulta enriquecedor y ayuda a entender lo que nos dice este importante resultado. Ello nos llevará a plantear y dar respuesta a unas cuántas preguntas interesantes, tal y como vamos a ver.

Al extraer una carta de la baraja, la carta resultante será de un determinado palo ( pongamos que de bastos, aunque no importa en qué palo estemos concretando ). Designaremos por $B$ el sucesos "extraer carta de bastos" y por $\bar{B}$ " el suceso "extraer carta que no sea del palo de bastos". Los sucesos $B$ y $\bar{B}$ constituyen una partición del espació muestral, ya que $B \cup \bar{B} = \Omega$ y $B \cap \bar{B} = \emptyset$. Ahora, denotemos por $F$ al suceso "extraer una carta que sea figura". Entonces, podemos escribir $$F=(F \cap B) \cup ( B \cap \bar{B})$$ Ahora, como $F \cap B$ y $F \cap \bar{B}$ son sucesos disjuntos ( incompatibles ), al hacer actuar la función de probabilidad resulta que, por el tercer axioma de la teoría, $$P(F)=P((F \cap B) \cup (F \cap \bar{B}))=P(F \cap B)+P(F \cap \bar{B}$$ y empleando la definición de probabilidad condicionada, $$P(F)=P(F|B)\cdot P(B)+P(F|\bar{B})\cdot P(\bar{B})$$ Teniendo en cuenta que ( aplicando la regla de Laplace ):
$$P(B)=\dfrac{12}{48}=\dfrac{1}{4}$$ $$P(\bar{B})=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$$ $$P(F|B)=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$$ y $$P(F|\bar{B})=\dfrac{3\cdot 3}{36}=\dfrac{1}{4}$$ encontramos el resultado que ya esperábamos $$P(F)=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4})=\dfrac{1}{4}$$

Comentario: En este caso, podemos observar que $P(F|B)=P(B|F)=\dfrac{1}{4}$, debido a que $P(F)=P(B)$; sin embargo, en general, dados dos sucesos $X$ e $Y$, se tiene que $P(X|Y= \neq P(Y|X)$.

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Finalmente, al hilo de todo esto, nos plantearemos la siguiente pregunta, que es un poco más interesante: Si la carta extraída resulta ser figura, ¿ cuál es la probabilidad que sea de un determinado palo ( pongamos que de bastos ) ?

Tengamos en cuenta que por la propiedad conmutativa, $F \cap B = B \cap F$, luego $P(F \cap B)=P(B \cap F)$. Entonces, aplicando la definición de probabilidad condicionada, $$P(B|F)\cdot P(F)=P(F|B)\cdot P(B)$$ despejando del primer miembro el factor que nos interesa resulta el teorema de Bayes: $$P(B|F)=\dfrac{P(F|B)\cdot P(B)}{P(F)}$$ Así, podemos calcular la probabilidad pedida $$P(B|F)=\dfrac{(1/4)\cdot (1/4)}{(1/4)}=\dfrac{1}{4}$$

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Otra pregunta: ¿ Son $B$ y $F$ sucesos independientes ?.

Observemos que $\dfrac{1}{4}=P(F|B)=P(F)$, luego sí son independientes.

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Otra más: ¿ Cuál es la probabilidad de que la carta extraída sea figura y sea de bastos ?

Aplicando, otra vez, la definición de probabilidad condicionada: $P(F \cap B)=P(F|B)\cdot P(B)=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{16}$

Nota: Observemos que, en este caso, por ser $B$ y $F$ sucesos independientes, se cumple también que $P(F \cap B)=P(F)\cdot P(B)=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{16}$

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Y, finalmente, una última pregunta: ¿ Cuál es la probabilidad de que la carta extraída sea o bien figura o bien de bastos ?.

Aplicando la propiedad de inclusión-exclusión,
$$P(F \cup B) = P(F)+P(B)-P(F \cap B)$$ y como ya conocemos los valores de los términos del segundo miembro, la probabilidad pedida resulta ser $$\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{16}=\dfrac{7}{16}$$

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El vuelo del Fénix

ENUNCIADO. Considerar un determinado avión bimotor. Se sabe que, en condiciones adversas, el motor de estribor ha tenido un fallo cada cien pruebas, y que el motor de babor ha tenido un fallo cada doscientas pruebas. En situaciones de vuelo parecidas a las pruebas realizadas, se pide:
a) ¿ cuál es la probabilidad de que fallen los dos motores a la vez ?
b) ¿ cuál es la probabilidad de que, en el avión bimotor, se dé un fallo de propulsión en un sólo motor ?
c) Si el avión ha tenido un fallo de propulsión en uno de los dos motores, ¿ cuál es la probabilidad de que el motor averiado haya sido el de babor ? ¿ Y de que se haya averiado el motor de estribor ?

SOLUCIÓN. Denominamos $E$ al suceso "falla el motor de estribor"; denominamos $B$ al suceso "falla el motor de babor", y denominamos $F$ al suceso, "fallo de propulsión en el avión".
a)
Es razonable suponer que los suscesos $E$ y $F$ son independientes y, por tanto $P(E \cap B)=P(E)\cdot P(B)= \dfrac{1}{100}\cdot \dfrac{1}{200}=\dfrac{1}{20000}=0{,}005\,\%$

Comentario: Teniendo en cuenta que un avión bimotor puede volar ( si bien en situación de emergencia ) con un sólo motor y que un avión monomotor con el motor averiado ya no puede hacerlo, es más seguro volar en bimotor ( sin tener en cuenta otras causas de averías que las de propulsión ) que hacerlo en un avión monomotor, pues la probabilidad calculada es mucho menor que cualquiera de las probabilidades de fallo de un sólo motor.


b)
El que falle la propulsión lo podemos escribir así, $F=(F \cap B ) \cup (F \cap E)$; como, además, nos interesamos por los posibles fallos de propulsión ocasionados por la avería de uno sólo de los motores ( lo que equivale a suponer que los sucesos $F \cap B$ y $F \cap E$ son disjuntos ( incompatibles ), la probabilidad total ( teorema de la probabilidad total ) es $$P(F)=P(F \cap E)+P(F \cap B)$$ es decir
$$P(F)=P(F|E)\cdot P(E)+P(F|B)\cdot P(B)$$
Como no hay razón para pensar que la probabilidad de que se de la causa del fallo de motores ( por ejemplo, una tormenta de arena en el desierto ) no sea la misma en un motor que en otro, $P(E)=P(B)=\dfrac{1}{2}$, entonces
$$P(F)=\dfrac{1}{100}\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{100}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{200}=0{,}015=1{,}5\,\%$$

c)
Por el teorema de Bayes, podemos escribir $$P(B|F)=\dfrac{P(F|B)\cdot P(B)}{P(F)}=\dfrac{(1/100)\cdot (1/2)}{(3/200)}=\dfrac{1}{3} \approx 33\,\%$$
y $$P(E|F)=\dfrac{P(F|E)\cdot P(E)}{P(F)}=\dfrac{(1/200)\cdot (1/2)}{(3/200)}=\dfrac{1}{6} \approx 17\,\%$$

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Una urna contiene ... ( Artículo escrita en catalán )

Enunciat:
Una urna A conté 3 boles vermelles i 1 bola blanca; una altra urna B conté 5 boles vermelles i 2 boles blanques, i una tercera urna c conté 1 bola vermella i 2 boles blanques. Escollim a l'atzar una de les tres urnes i, a continuació, fem l'extracció (a l'atzar) d'una de les boles que conté. Calculeu la probabilitat que:
  a) la bola sigui blanca
  b) sigui una bola de la urna A, sabent que la bola és blanca

Resolució:
apartat a)
Anomenem:
  A al succés a l'atzar "escollir la urna A"; B, al succés a l'atzar "escollir la urna B"; i C, al succés "escollir a l'atzar la urna C".

Per altra banda, designem amb la lletra W el succés "extraure una bola blanca" (d'una de les tres urnes, escollida aleatòriament).

D'acord amb el teorema de la probabilitat total podem escriure
$P(W)=P(W|A)\cdot P(A)+P(W|B)\cdot P(B)+P(W|C)\cdot P(C) \quad \quad (1)$

Tenint en compte el contingut de cada urna, assignem les probabilitats condicionades corresponents d'acord amb el principi de Laplace
$P(W|A)=\dfrac{1}{4}$
$P(W|B)=\dfrac{2}{7}$
$P(W|A)=\dfrac{2}{3}$

Pel que fa a l'elecció de la urna, cal suposar que els successos A, B i C, són equiprobables i, d'acord amb el principi de Laplace
$P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac{1}{3}$

Substituint aquests coeficients de probabilitat a l'expressió (1) trobem la probabilitat demanada
$P(W)=\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{3}+ \dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{3}$
    $=\dfrac{101}{252}\approx 40 \text{\%}$

apartat b)
Del teorema de Bayes tenim que
$P(A|W)=\dfrac{P(W|A)\cdot P(A)}{P(W)}$

            $=\dfrac{\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{3}}{\dfrac{101}{252}}$

            $=\dfrac{21}{101}$

            $\approx 21 \,\%$

$\square$

[nota del autor]