Enunciat:
Una urna A conté 3 boles vermelles i 1 bola blanca; una altra urna B conté 5 boles vermelles i 2 boles blanques, i una tercera urna c conté 1 bola vermella i 2 boles blanques. Escollim a l'atzar una de les tres urnes i, a continuació, fem l'extracció (a l'atzar) d'una de les boles que conté. Calculeu la probabilitat que:
a) la bola sigui blanca
b) sigui una bola de la urna A, sabent que la bola és blanca
Resolució:
apartat a)
Anomenem:
A al succés a l'atzar "escollir la urna A"; B, al succés a l'atzar "escollir la urna B"; i C, al succés "escollir a l'atzar la urna C".
Per altra banda, designem amb la lletra W el succés "extraure una bola blanca" (d'una de les tres urnes, escollida aleatòriament).
D'acord amb el teorema de la probabilitat total podem escriure
$P(W)=P(W|A)\cdot P(A)+P(W|B)\cdot P(B)+P(W|C)\cdot P(C) \quad \quad (1)$
Tenint en compte el contingut de cada urna, assignem les probabilitats condicionades corresponents d'acord amb el principi de Laplace
$P(W|A)=\dfrac{1}{4}$
$P(W|B)=\dfrac{2}{7}$
$P(W|A)=\dfrac{2}{3}$
Pel que fa a l'elecció de la urna, cal suposar que els successos A, B i C, són equiprobables i, d'acord amb el principi de Laplace
$P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac{1}{3}$
Substituint aquests coeficients de probabilitat a l'expressió (1) trobem la probabilitat demanada
$P(W)=\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{3}+ \dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{3}$
$=\dfrac{101}{252}\approx 40 \text{\%}$
apartat b)
Del teorema de Bayes tenim que
$P(A|W)=\dfrac{P(W|A)\cdot P(A)}{P(W)}$
$=\dfrac{\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{3}}{\dfrac{101}{252}}$
$=\dfrac{21}{101}$
$\approx 21 \,\%$
$\square$
