Enunciat:
En un examen, la puntuació mitjana ha estat de 4,5 punts, i la desviació estàndard d'1,5. Suposant que les puntuacions es distribueixen normalment, quin percentatge d'alumnes han obtingut més d'un 5 ?
Resolució:
Designem amb X la variable ateatòria "puntuació", els valors de la qual pertanyen a l'interval
\left[ 0, 10 \right] \in \mathbb{R}
D'acord amb l'enunciat,
X \sim N(4,5 \; , \; 1,5)
Llavors,
P(X > 5) = 1-P(X \le 5) \quad \quad (1)
I, per calcular P(X\le 5), farem el canvi de variable
Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}
amb la qual cosa
P(X\le 5)=P(Z \le k)
on
k=\dfrac{5-4,5}{1,5}=\dfrac{1}{3}
Tenint en compte que
P(Z \le \frac{1}{3})=F(\frac{1}{3}) \approx 0,333
- on F(z) és la funció de distribució de probabilitat de Z -
farem, ara, ús de les taules de Z que és una N(0,1)
i trobem que
F(0,33) = 0,6293
i
F(0,34) = 0,6331
Interpolant linealment,
\dfrac{F(0,34)-F(\frac{1}{3})}{0,34-0,333}=\dfrac{F(0,34)-F(0,33)}{0,34-0,33}
d'on
F(0,333)\approx 0,6304
Per tant
P(X \le 5) \approx 0,6304
i (1) queda
P(X>5) \approx 0,3696
de la qual cosa interpretem (estadísticament) que el tant per cent demanat és, aproximadament, del 37 \,\%
\square
