Enunciat:
En un examen, la puntuació mitjana ha estat de 4,5 punts, i la desviació estàndard d'1,5. Suposant que les puntuacions es distribueixen normalment, quin percentatge d'alumnes han obtingut més d'un $5$ ?
Resolució:
Designem amb $X$ la variable ateatòria "puntuació", els valors de la qual pertanyen a l'interval
$\left[ 0, 10 \right] \in \mathbb{R}$
D'acord amb l'enunciat,
$X \sim N(4,5 \; , \; 1,5)$
Llavors,
$P(X > 5) = 1-P(X \le 5) \quad \quad (1)$
I, per calcular $P(X\le 5)$, farem el canvi de variable
$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$
amb la qual cosa
$P(X\le 5)=P(Z \le k)$
on
$k=\dfrac{5-4,5}{1,5}=\dfrac{1}{3}$
Tenint en compte que
$P(Z \le \frac{1}{3})=F(\frac{1}{3}) \approx 0,333$
- on $F(z)$ és la funció de distribució de probabilitat de $Z$ -
farem, ara, ús de les taules de $Z$ que és una $N(0,1)$
i trobem que
$F(0,33) = 0,6293$
i
$F(0,34) = 0,6331$
Interpolant linealment,
$\dfrac{F(0,34)-F(\frac{1}{3})}{0,34-0,333}=\dfrac{F(0,34)-F(0,33)}{0,34-0,33}$
d'on
$F(0,333)\approx 0,6304$
Per tant
$P(X \le 5) \approx 0,6304$
i (1) queda
$P(X>5) \approx 0,3696$
de la qual cosa interpretem (estadísticament) que el tant per cent demanat és, aproximadament, del $37 \,\%$
$\square$
