Enunciat:
Donat el conjunt de $N$ valors emparellats $\{x_i,y_i\}\,\,(i=1,2,\ldots,N)$ de les variables estadístiques $X$ i $Y$, demostreu que la covariància definida de la forma
$\displaystyle \text{Cov}(X,Y)=\dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\,\big(x_i-\bar{x}\big)\big(y_i-\bar{y}\big)$
es pot cal calcular també fent ús de l'expressió
$\displaystyle \dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\,x_i\,y_i-\bar{x}\,\bar{y}$
Resolució:
De la definició
$\displaystyle \text{Cov}(X,Y)=\dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\,\big(x_i-\bar{x}\big)\big(y_i-\bar{y}\big)$
i a partir de la propietat commutativa (de la multiplicació i de la suma) i de la p. distributiva de la multiplicació respecte de la suma podem escriure:
$\text{Cov}(X,Y)=$
$\displaystyle=\dfrac{1}{N} \,\sum_{i=1}^{N}\,x_i\,y_i - \dfrac{\bar{x}}{N}\,\sum_{i=1}^{N}\,x_i-\dfrac{\bar{y}}{N}\,\sum_{i=1}^{N}\,y_i+\bar{x}\,\bar{y} \quad \quad (1)$
[ Observació: l'últim sumand resulta de
$\displaystyle \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{N}\,\bar{x}\,\bar{y}=N\,\dfrac{1}{N}\,\bar{x}\,\bar{y}=\bar{x}\,\bar{y}$]
i tenint en compte que
$\displaystyle \bar{x}=\dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{N}\,x_i$
$\displaystyle \bar{y}=\dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{N}\,y_i$
podem posar l'expressió (1) de la forma
$\displaystyle \dfrac{1}{N} \,\sum_{i=1}^{N}\,x_i\,y_i - \bar{x}\,\bar{y} - \bar{y}\,\bar{x} + \bar{x}\,\bar{y}$
amb la qual cosa ens queda
$\displaystyle \text{Cov}(X,Y)=\dfrac{1}{N} \,\sum_{i=1}^{N}\,x_i\,y_i - \bar{x}\,\bar{y}$
$\square$
