ENUNCIADO. En una urna hay $2$ bolas blancas y $10$ bolas negras. Realizamos extracciones sucesivas sin reemplazamiento hasta que salga la primera bola blanca. ¿ Cuál es la probabilidad de que ésta salga en la sexta extracción ? ¿ En qué extracción se espera que salga ( esperanza matemática de la variable aleatoria "número de orden de extracción en la que aparece bola blanca" ) ? ¿ Tiene ese valor ( la esperanza matemática ) mucha incertidumbre en este caso ?
SOLUCIÓN. El modelo geométrico de variable aleatoria se ajusta al experimento descrito, siendo los valores de la variable aleatoria: $\{1,2,\ldots,12\}$. Así, $P\{X=6\}=q^{6-1}\,p$, donde $p=\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}$ y $q\equiv 1-p=1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}$. Por tanto, $P\{X=6\}=\left(\dfrac{4}{5}\right)^{6-1} \cdot \dfrac{1}{5}=\dfrac{1024}{15625} \approx 0{,}0655$
La esperanza matemática en este modelo de distribución de probabilidad viene dado por $E[X]=\dfrac{1}{p}$, luego se espera que la bola blanca aparezca en el lanzamiento número $\dfrac{1}{1/5}=5$. La desviación estándar, $\sqrt{V[X]}$, es igual ( en este modelo ) a $\sqrt{\dfrac{1-p}{p^2}}$, que, con los datos del problema tiene el siguiente valor $\sqrt{\dfrac{1-1/5}{(4/5)^2}}=\sqrt{20} \approx 5$, muy alto en comparación con el de la esperanza matemática, lo cual indica que la incertidumbre de ésta es muy grande. $\square$
