Resolver la ecuación logarítmica

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$\log_{10}\,(2-5\,x)=1$$

SOLUCIÓN. Por la propiedad de reciprocidad entre logaritmos y exponenciales $$\log_{10}\,(2-5\,x)=1 \Leftrightarrow 10^1=2-5x \Leftrightarrow x=-\dfrac{8}{5}$$
$\square$

[autoría]

Resolver la siguiente ecuación logarítmica

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación: $$\ln\,(x+1)=\ln\,(2\,x)$$

SOLUCIÓN.

Procedimiento 1.
Como las bases de los logaritmos de ambos miembros son las mismas, los argumentos han de ser iguales $$x+1=2\,x $$ agrupando términos semejantes $$2\,x-x=1$$ y, por tanto, $$x=1$$

Procedimiento 2.
Agrupando en el primer miembro $$\ln\,(x+1)-\ln\,(2\,x)=0$$ y como $\ln\,1=0$ podemos escribir $$\ln\,(x+1)-\ln\,(2\,x)=\ln\,1$$ Por las propiedades de los logaritmos queda $$\ln\,\left(\dfrac{x+1}{2\,x}\right)=\ln\,1$$ luego deberá cumplirse que los argumentos de los logaritmos de los dos miembros sean iguales ( pues la base de estos es la misma ), con lo cual llegamos a $$\dfrac{x+1}{2\,x}=1$$ que podemos expresar de la forma $$x+1=2\,x $$ concluyendo que $$x=1$$


$\square$

[autoría]

Ecuaciones con logaritmos. Ecuaciones con exponenciales ... ( Artículo escrito en catalán )

1. Trobeu els valors de les variables que satisfan el següent sistema d'equacions:    

$\left.\begin{matrix} \log{x} + \log{y} = 2\\ \\ 3\,\log{x} - \log{y} = 1\\ \end{matrix}\right\}$

Sumant, membre a membre, els termes de les dues equacions obtenim

$4\,\log{x}=3$

per tant

$x=10^{\frac{3}{4}}$

Per altra banda, multiplicant per $-3$ ambdós membres de la segona equació i, sumant - membre a membre - els termes de l'equació resultant amb els de la primera

$-4 \,\log{y}=-6+1$

és a dir

$4\,\log{y}=5$

d'on

$y=10^{\frac{5}{4}}$

$\square$

2. Calculeu el valor aproximat de $x$ amb cinc xifres significatives
$\log_{2}{x}=\log_{3}{4}$

Expressant els logaritmes en base comuna (canvi de base logarítmica)

$\frac{\ln{x}}{\ln{2}}=\frac{\ln{4}}{\ln{3}}$

per tant

$\ln{x}=\frac{\ln{4} \cdot \ln{2}}{\ln{3}}$

i, desfent el logaritme, trobem

$x=e^{\frac{\ln{4} \cdot \ln{2}}{\ln{3}}} \approx 2,3980 \; \; \text{(5 x.s.)}$

$\square$

3. Trobeu els valors reals de $x$ que compleixen la igualtat

$2^{x^4+5x^2-36}=1$

El segon membre es pot posar de la forma $2^0$ i, per tant,

$2^{x^4+5x^2-36}=2^0$

Com que les bases de les potències de tots dos membres són iguals, els exponents també ho hauran de ser

$x^4+5x^2-36=0$

equació biquadrada que, fent el canvi de variable $x^2=t$, es transforma en una equació de 2n grau

$t^2+5t-36=0$

que té dos valors com a solució

$t_1=4$ i $t_2=-9$

i desfent, ara, el canvi de variable

obtenim dues solucions reals per a $x$ que venen de $t_1=4$

$x_1=2$ i $x_2=-2$

Observació: les dues solucions que provenen del valor negatiu $t$, $t=-9$ , són nombres complexos: $x_3=3\,i$ i $x_4=-3\,i$, però, d'acord amb el requeriment de l'enunciat - les solucions han de ser nombres reals -, els hem de negligir.

$\square$

[nota del autor]

Resolver las siguientes ecuaciones ... ( Artículo escrito en catalán )

1. Resoleu el sistema d'equacions:    

$\left.\begin{matrix} x + y = 1\\ \\ \log{x} + \log{y} = \log{\big(\dfrac{1}{100}\big)}\\ \end{matrix}\right\}$

Per les propietats dels logaritmes, la segona equació es pot posar de la forma

$\log{(x\,y)}=\log{\big(\dfrac{1}{100}\big)}$

és a dir

$x\,y = \dfrac{1}{100}$

Llavors, aïllant una de les dues variables (per exemple $y$) queda

$y = \dfrac{1}{100\,x}$

que, substituïda a la primera equació, ens permet escriure una equació amb una sola variable

$x+\dfrac{1}{100 \, x}=1$

equivalent a

$100\,x^2-100\,x+1=0$

d'on traiem que

$x_1=\dfrac{5+2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10} > 0$

i

$x_2=\dfrac{5-2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10} > 0$

valors aparellats amb els de la variable $y$ (substituint):

$y_1=\dfrac{5-2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}> 0$

i

$y_2=\dfrac{5+2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}> 0$

Per tant, trobem dues solucions

a) $x_1=\dfrac{5+2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}$, $y_1=\dfrac{5-2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}$

b) $x_2=\dfrac{5-2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}$, $y_2=\dfrac{5+2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}$

$\square$

2. Calculeu el valor aproximat de $x$ amb cinc xifres significatives
        $3^x=7$

Extraient logaritmes de cada membre de la igualtat

$\ln{\big(3^x\big)}=\ln{7}$

d'on, per les propietats dels logaritmes, queda

$x\, \ln{3}=\ln{7}$

i, aïllant la variable, podrem escriure

$x=\dfrac{\ln{7}}{\ln{3}} \approx 1,7712 \, \text{(5 x.s.)}$

$\square$

3. Resoleu l'equació
        $2^{x^2+5x+8}=4$

Podem expressar el terme independent del segon membre com una potència de de base dos

$2^{x^2+5x+8}=2^2$

d'on es desprèn que els exponents de tots dos membres han de ser iguals (les bases són les mateixes)

$x^2+5x+8=2$

equació que, tota vegada l'hem preparat per ser resolta, queda de la forma

$x^2+5x+6=0$

i dóna els següents resultats

$x=\left\{\begin{matrix} -2\\ \\ -3\\ \end{matrix}\right.$

$\square$

[nota del autor]