1. Trobeu els valors de les variables que satisfan el següent sistema d'equacions:
$\left.\begin{matrix} \log{x} + \log{y} = 2\\ \\ 3\,\log{x} - \log{y} = 1\\ \end{matrix}\right\}$
Sumant, membre a membre, els termes de les dues equacions obtenim
$4\,\log{x}=3$
per tant
$x=10^{\frac{3}{4}}$
Per altra banda, multiplicant per $-3$ ambdós membres de la segona equació i, sumant - membre a membre - els termes de l'equació resultant amb els de la primera
$-4 \,\log{y}=-6+1$
és a dir
$4\,\log{y}=5$
d'on
$y=10^{\frac{5}{4}}$
$\square$
2. Calculeu el valor aproximat de $x$ amb cinc xifres significatives
$\log_{2}{x}=\log_{3}{4}$
Expressant els logaritmes en base comuna (canvi de base logarítmica)
$\frac{\ln{x}}{\ln{2}}=\frac{\ln{4}}{\ln{3}}$
per tant
$\ln{x}=\frac{\ln{4} \cdot \ln{2}}{\ln{3}}$
i, desfent el logaritme, trobem
$x=e^{\frac{\ln{4} \cdot \ln{2}}{\ln{3}}} \approx 2,3980 \; \; \text{(5 x.s.)}$
$\square$
3. Trobeu els valors reals de $x$ que compleixen la igualtat
$2^{x^4+5x^2-36}=1$
El segon membre es pot posar de la forma $2^0$ i, per tant,
$2^{x^4+5x^2-36}=2^0$
Com que les bases de les potències de tots dos membres són iguals, els exponents també ho hauran de ser
$x^4+5x^2-36=0$
equació biquadrada que, fent el canvi de variable $x^2=t$, es transforma en una equació de 2n grau
$t^2+5t-36=0$
que té dos valors com a solució
$t_1=4$ i $t_2=-9$
i desfent, ara, el canvi de variable
obtenim dues solucions reals per a $x$ que venen de $t_1=4$
$x_1=2$ i $x_2=-2$
Observació: les dues solucions que provenen del valor negatiu $t$, $t=-9$ , són nombres complexos: $x_3=3\,i$ i $x_4=-3\,i$, però, d'acord amb el requeriment de l'enunciat - les solucions han de ser nombres reals -, els hem de negligir.
$\square$
