SOLUCIÓN.
Procedimiento 1.
Como las bases de los logaritmos de ambos miembros son las mismas, los argumentos han de ser iguales $$x+1=2\,x $$ agrupando términos semejantes $$2\,x-x=1$$ y, por tanto, $$x=1$$
Procedimiento 2.
Agrupando en el primer miembro $$\ln\,(x+1)-\ln\,(2\,x)=0$$ y como $\ln\,1=0$ podemos escribir $$\ln\,(x+1)-\ln\,(2\,x)=\ln\,1$$ Por las propiedades de los logaritmos queda $$\ln\,\left(\dfrac{x+1}{2\,x}\right)=\ln\,1$$ luego deberá cumplirse que los argumentos de los logaritmos de los dos miembros sean iguales ( pues la base de estos es la misma ), con lo cual llegamos a $$\dfrac{x+1}{2\,x}=1$$ que podemos expresar de la forma $$x+1=2\,x $$ concluyendo que $$x=1$$
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