3\,x &-&3\,y&+&z=&1 \\
2x &-&3\,y&+&2\,z=&0 \\
x &-&2\,y&+&4\,z=&3 \\
\end{matrix}\right\}$$
SOLUCIÓN. Procedemos a reducir el sistema de ecuaciones por Gauss ( obtener un escalonamiento de $0$s pivotando en el primer término de la tercera ecuacion ).
Para cubrir la primera etapa, podemos hacerlo mediante estas dos combinaciones lineales entre ecuaciones: $-2\,e_1+3\,e_2 \rightarrow e_2$ y $-2\,e_3+e_2 \rightarrow e_3$; así obtenemos el siguiente sistema equivalente $$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&1 \\
&-&3\,y&+&4\,z=&-2 \\
&&y&-&6\,z=&-6 \\
\end{matrix}\right\}$$ Procedemos ahora a llevar a cabo la segunda etapa del escalonamiento, mediante la combinación $3\,e_3+e_2 \rightarrow e_2$, obteniendo el sistema ya escalonado $$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&1 \\
&-&3\,y&+&4\,z=&-2 \\
&&&&-14\,z=&-20 \\
\end{matrix}\right\}$$ Es evidente que el sistema es compatible, pues no hay ninguna contradicción en las igualdades ( ecuaciones ) del sistema reducido ( equivalente al original ); además, al tener $3$ ecuaciones independientes ( linealmente ) -- $3$ ecuaciones identicamente no-nulas --, y ser este valor del rango al número de variables ( incógnitas ), el sistema es ( compatible ) determinado: como solución del sistema, habrá un sólo valor para cada incógnita. Simplificando un poco para facilitar el despeje: $$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&1 \\
&&3\,y&-&4\,z=&2 \\
&&&&7\,z=&10 \\
\end{matrix}\right\}$$ Despejando $z$ de la tercera ecuación $$z=\dfrac{10}{7}$$
Sustituyendo este valor en la segunda ecuación y despejando $y$
$$3y-4\cdot \dfrac{10}{7}=2 \Leftrightarrow y=\dfrac{18}{7}$$ Y, finalmente, sustituyendo los valores encontrados para $z$ e $y$ en la primera ecuación y despejando $x$ $$3\,x-3\cdot \dfrac{18}{7}+\dfrac{10}{7}=1 \Leftrightarrow x=\dfrac{17}{7}$$
[autoría]
