Sistemas de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. Encontrar la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales, compatible y determinado: $$\left\{\begin{matrix}
x&+&y&-&z&=&1 \\
x&-&y&+&z&=&1 \\
x&+&y&+&z&=&1
\end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN.

Plantear y resolver el sistema de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. La suma de tres números racionales es $1$; la diferencia entre la suma de los dos primeros y el tercero es $0$, y la diferencia entre la suma de los dos últimos y el primero es $2$. ¿ De qué números estamos hablando ?.

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$, $y$, $z$ el primer, segundo y tercero de los números pedidos. Entonces,
$$\left\{\begin{matrix}
x &+&y&+&z&=&1 \\
x &+&y&-&z&=&0 \\
y &+&z&-&x&=&2 \\
\end{matrix}\right.$$
esto es
$$\left\{\begin{matrix}
x &+&y&+&z&=&1 \\
x &+&y&-&z&=&0 \\
-x &+&y&+&z&=&2 \\
\end{matrix}\right.$$
mediante las siguientes operaciones elementales entre ecuaciones $$e_1-e_2 \rightarrow e_2$$ $$e_3+e_2 \rightarrow e_3$$ transformamos este sistema en el sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}
x &+&y&+&z&=&1 \\
&&&&2z&=&1 \\
&&2y&&&=&2 \\
\end{matrix}\right.$$
Despejando $y$ de la tercera ecuación, y $z$ de la segunda $$y=1$$ $$z=\dfrac{1}{2}$$ Sustituyendo, finalmente, dichos valores en la primera $$x+1+\dfrac{1}{2}=1$$ con lo cual, despejando $x$ de esta ecuación $$x=-\dfrac{1}{2}$$
$\square$

Resolver el sistema de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. Clasificar según la solución y resolver, si procede, el siguiente sistema de ecuaciones lineales, interpretando la ( posible ) solución desde el punto de vista geométrico:
$$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&11 \\
2x &-&3\,y&+&2\,z=&9 \\
x &-&2\,y&+&4\,z=&3 \\
\end{matrix}\right\}$$


SOLUCIÓN
Mediante combinaciones lineales entre filas procederemos a obtener un sistema equivalente que tenga un escalonamiento de $0$s en los coeficientes de las ecuaciones ( del sistema reducido por Gauss ), que nos permitirá saber cuántas ecuaciones de las dadas son linealmente independientes ( rango del sistema ), viendo con ello si el sistema es incompatible ( no tiene solución ) o bien compatible ( tiene solución ), y en cuyo caso, si a cada variable le corresponde un sólo valor como solución ( compatible determinado ) o bien le corresponden infinitos valores, aunque con una cierta estructura que los liga ( sistema compatible indeterminado ). Finalmente, si procede encontraremos la solución.
Empecemos. A partir del sistema original
$$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&11 \\
2x &-&3\,y&+&2\,z=&9 \\
x &-&2\,y&+&4\,z=&3 \\
\end{matrix}\right\}$$
y mediante las siguientes operaciones elementales entre ecuaciones
$$\left.\begin{matrix}
-2\,e_1+3\,e_2 \rightarrow e_2\\
-2\,e_3+3\,e_2 \rightarrow e_3\\
\end{matrix}\right.$$
obtenemos el siguiente sistema equivalente
$$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&11 \\
&&-3\,y&+&4\,z=&5 \\
&&y&-&6\,z=&3 \\
\end{matrix}\right\} $$
que acabamos de escalonar haciendo
$$\left.\begin{matrix}
2\,e_3+e_2 \rightarrow e_3\\
\end{matrix}\right.$$
obteniendo
$$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&11 \\
&&-3\,y&+&4\,z=&5 \\
&&&-&14\,z=&14 \\
\end{matrix}\right\} $$
sistema escalonado por Gauss que tiene $3$ ecuaciones linealmente independientes, luego el rango del sistema de ecuaciones es $3$; y, como el rango coincide con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado, por lo que la solución es única. Veamos cuál es. De la última ecuación, despejamos $z$ sin dificultad, obteniendo $z=-1$; sustituyendo dicho valor en la segunda ecuación del sistema reducido llegamos a $y=-3$. Y, finalmente, sustituyendo $z=-1$ e $y=-3$ en la primera ecuación y despejando la incógnita $x$ resulta $x=1$.
Y se comprueba fácilmente que la solución ( que representa un punto del espacio tridimensional ) satisface las tres igualdades originales.
$\square$

[autoría]

Estudiar y resolver

ENUNCIADO. Estudiar y, si procede, resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales $$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&1 \\
2x &-&3\,y&+&2\,z=&0 \\
x &-&2\,y&+&4\,z=&3 \\
\end{matrix}\right\}$$

SOLUCIÓN. Procedemos a reducir el sistema de ecuaciones por Gauss ( obtener un escalonamiento de $0$s pivotando en el primer término de la tercera ecuacion ).

Para cubrir la primera etapa, podemos hacerlo mediante estas dos combinaciones lineales entre ecuaciones: $-2\,e_1+3\,e_2 \rightarrow e_2$ y $-2\,e_3+e_2 \rightarrow e_3$; así obtenemos el siguiente sistema equivalente $$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&1 \\
&-&3\,y&+&4\,z=&-2 \\
&&y&-&6\,z=&-6 \\
\end{matrix}\right\}$$ Procedemos ahora a llevar a cabo la segunda etapa del escalonamiento, mediante la combinación $3\,e_3+e_2 \rightarrow e_2$, obteniendo el sistema ya escalonado $$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&1 \\
&-&3\,y&+&4\,z=&-2 \\
&&&&-14\,z=&-20 \\
\end{matrix}\right\}$$ Es evidente que el sistema es compatible, pues no hay ninguna contradicción en las igualdades ( ecuaciones ) del sistema reducido ( equivalente al original ); además, al tener $3$ ecuaciones independientes ( linealmente ) -- $3$ ecuaciones identicamente no-nulas --, y ser este valor del rango al número de variables ( incógnitas ), el sistema es ( compatible ) determinado: como solución del sistema, habrá un sólo valor para cada incógnita. Simplificando un poco para facilitar el despeje: $$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&1 \\
&&3\,y&-&4\,z=&2 \\
&&&&7\,z=&10 \\
\end{matrix}\right\}$$ Despejando $z$ de la tercera ecuación $$z=\dfrac{10}{7}$$
Sustituyendo este valor en la segunda ecuación y despejando $y$
$$3y-4\cdot \dfrac{10}{7}=2 \Leftrightarrow y=\dfrac{18}{7}$$ Y, finalmente, sustituyendo los valores encontrados para $z$ e $y$ en la primera ecuación y despejando $x$ $$3\,x-3\cdot \dfrac{18}{7}+\dfrac{10}{7}=1 \Leftrightarrow x=\dfrac{17}{7}$$

[autoría]

Discutir y resolver ...

ENUNCIADO. Resolver el sistema de ecuaciones dado por una única ecuación $$x-y+z=1$$

SOLUCIÓN. Como hay tres variables y el sistema consta de una sola ecuación, el sistema es compatible indeterminado, con $3-1=2$ variables secundarias. Elijamos tres de las variable como variables secundarias, pongamos que $y$ y $z$, denotándolas de la forma $\alpha:=y$ y $\beta:=z$, con lo cual podemos escribir $$x=1+\alpha-\beta$$ Como podemos dar valores arbitrarios ( infinitos valores ) a $\alpha$ y a $\beta$, describimos, pues, la solución como el conjunto de infinitas ternas de números reales dado por $$\{(1+\alpha-\beta,\alpha,\beta): \alpha,\beta \in \mathbb{R}\}$$ que interpretamos como puntos de un plano en el espacio tridimensional.

Nota: $\alpha$ y $\beta$ hacen el papel de parámetros en la estructura general de la solución. El que encontremos dos parámetros se corresponde con la noción ( geométrica ) de que un plano se entienda como un conjunto de puntos con dos grados de libertad, pues al imaginar que recorremos todos estos puntos podemos pensar que lo podemos hacer eligiendo dos direcciones básicas.
$\square$

[autoría]

Clasificar y resolver ...

ENUNCIADO. Clasificar el siguiente sistema de ecuaciones lineales y resolverlo ( si tiene solución )
$$\left\{\begin{matrix}
x&+&y&+&z&=&1\\
x&-&y&+&z&=&-1\\
x&+&y&+&z&=&0\\
\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Observemos que de la primera ecuación y de la tercera ecuación se deduce que $0=1$, lo cual es absurdo, luego debemos concluir que el sistema es incompatible ( no tiene solución ), y hemos terminado.

Nota: Como cada una de las ecuaciones representa un plano en el espacio tridimensional, interpretamos esta situación ( de incidencia de tres planos), dos de los cuales son paralelos no-coincidentes en el espacio tridimensional.

$\square$

[autoría]

Clasificar y resolver ...

ENUNCIADO. Clasificar el siguiente sistema de ecuaciones lineales y resolverlo ( si tiene solución )
$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&-&z&=&1\\
x&-&y&+&z&=&0\\
x&+&2\,y&-&2\,z&=&1\\
\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Reduciendo el sistema por Gauss podremos saber cuál es el número de ecuaciones linealmente independientes ( es decir, el rango del sistema ). Para ello, realizamos las operaciones elementales ( combinaciones lineales ) entre ecuaciones que sean necesarias para escalonar el sistema.

Primer etapa:

las siguientes combinaciones lineales
$e_3-e_2 \rightarrow e_3$
$-2\,e_2 + e_1 \rightarrow e_2$
nos llevan a

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&-&z&=&1\\
{\bf 0}\cdot x&+&3\,y&-&3\,z&=&1\\
{\bf 0}\cdot x&+&3\,y&-&3\,z&=&1\\
\end{matrix}\right.$$

Segunda etapa:

Con la combinación lineal
$e_3-e_2 \rightarrow e_3$
obtenemos el escalonamiento de ceros deseado

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&-&z&=&1\\
{\bf 0}\cdot x&+&3\,y&-&3\,z&=&1\\
{\bf 0}\cdot x&+&{\bf 0}\cdot y&+&0 \cdot z&=&0\\
\end{matrix}\right.$$


Contabilizando el número de ecuaciones ( de este sistema equivalente ) que son identicamente no-nulas, vemos que sólo son dos ( la primera y la segunda ), esto es, el rango del sistema, $r$, es $2$. Como estas dos ecuaciones son compatibles entre sí, el sistema es compatible ( tiene solución ); y, teniendo en cuenta que el número de incógnitas, $n$, que es $3$, es menor que el rango, concluimos que el sistema es compatible indeterminado ( ha de tener infinitas soluciones ). Veamos a continuación cómo están ligadas estas infinitas soluciones; para ello, debemos entender que de las $3$ incógnitas ( variables ), $n-r$ deben tomar el papel de variables secundarias, por lo que hay $3-2=1$ variable secundaria, cuyos valores en la solución los podremos elegir libremente; y, $r=2$ variables principales. Elijamos ahora una de las tres variables como secundaria ( da lo mismo cuál de ellas escogemos ): pongamos que $z$; y, para remarcar su carácter ( de variable secundaria ), la denotaremos por $\lambda$ ( es decir, designamos $z:=\lambda$ ). Hecho esto, escribamos el sistema de ecuaciones equivalente ( y reducido por Gauss ):

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&-&\lambda&=&1\\
&&3\,y&-&3\,\lambda&=&1\\
\end{matrix}\right.$$

donde hemos ya prescindido de la última ecuación, que es trivial ( no aporta información alguna ). Trasladando al segundo miembro los términos que dependen de $\lambda$, llegamos a

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&=&1+\lambda\\
&&3\,y&=&1+3\,\lambda\\
\end{matrix}\right.$$

Despejando ahora $y$ de la segunda ecuación obtenemos $$y=\dfrac{1}{3}+\lambda$$ y sustituyendo este resultado en la primera ecuación encontramos la forma que debe tener $x$ ( en función de $\lambda$ ) $$2\,x+\dfrac{1}{3}+\lambda=1+\lambda$$ es decir $$2\,x=1-\dfrac{1}{3}+\lambda-\lambda$$ simplificando y despejando $x$ del primer miembro $$x=\dfrac{1}{3}$$ con lo cual concluimos que la solución del sistema de ecuaciones son las infinitas ternas ( por ternas de números podemos entender puntos en el espacio tridimensional ) $$\{(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}+\lambda,\lambda): \lambda \in \mathbb{R}\}$$

Nota: Como cada ecuación representa un plano en el espacio tridimensional, interpretamos la solución como los infinitos puntos de una recta ( que es el resultado de la intersección de los tres planos ). El que estos infinitos puntos alineados dependan de un parámetro, encaja con la noción de que una recta tiene un grado de libertad ( geométrica ).
$\square$

[autoría]

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con MAXIMA ... ( Artículo escrito en catalán )

[nota del autor]

Se sabe que dos kilogramos de fruta ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Sabem que dos quilos de fruita A i tres quilos de fruita B costen tretze euros. També sabem que tres quilos de fruita A i dos quilos de fruita B costen dotze euros. Quant val cada quilo de fruita A ? Quant val cada quilo de fruita B ?.

Solució:
Anomenem:
    $a$ al preu del quilo de fruita A
    $b$ al preu del quilo de fruita B

Llavors, d'acord amb l'enunciat, tenim
      $\left\{\begin{matrix}2\,a &+& 3\,b & = & 13\\ 3\,a &+& 2\,b & = & 12\\ \end{matrix}\right.$

Multiplicant els dos membres de la primera equació per $-3$ i els de la segona per $2$
podrem escriure el següent sistema equivalent a l'original (ens proposem resoldre'l pel mètode de reducció)

      $\left\{\begin{matrix}-6\,a &-& 9\,b & = & -39\\ 6\,a &+& 4\,b & = & 24\\ \end{matrix}\right.$

Sumant la primera amb la segona, s'anul·len els termes en $a$, i obtenim una equació més senzilla i on no figura la primera incògnita, que és compatible amb les equacions originals:

      $5\,b=15$
i d'aquí, aïllant la incògnita, trobem

        $b=3 \; \dfrac{\text{euro}}{\text{kg}}$

Per obtenir el valor de $a$, substituïm el resultat que acabem de trobar a la primera equació ( podríem, naturalment, substituir-lo també a la segona ) i trobem

      $2\,a+3 \cdot 3=13$
i d'aquí
      $2\,a=13-9$
      $2\,a=4$
per tant
      $a=2 \; \dfrac{\text{euro}}{\text{kg}}$

$\square$

[nota del autor]