Resolver el sistema de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. Clasificar según la solución y resolver, si procede, el siguiente sistema de ecuaciones lineales, interpretando la ( posible ) solución desde el punto de vista geométrico:
$$\left.\begin{matrix} 3\,x &-&3\,y&+&z=&11 \\ 2x &-&3\,y&+&2\,z=&9 \\ x &-&2\,y&+&4\,z=&3 \\ \end{matrix}\right\}$$


SOLUCIÓN
Mediante combinaciones lineales entre filas procederemos a obtener un sistema equivalente que tenga un escalonamiento de $0$s en los coeficientes de las ecuaciones ( del sistema reducido por Gauss ), que nos permitirá saber cuántas ecuaciones de las dadas son linealmente independientes ( rango del sistema ), viendo con ello si el sistema es incompatible ( no tiene solución ) o bien compatible ( tiene solución ), y en cuyo caso, si a cada variable le corresponde un sólo valor como solución ( compatible determinado ) o bien le corresponden infinitos valores, aunque con una cierta estructura que los liga ( sistema compatible indeterminado ). Finalmente, si procede encontraremos la solución.
Empecemos. A partir del sistema original
$$\left.\begin{matrix} 3\,x &-&3\,y&+&z=&11 \\ 2x &-&3\,y&+&2\,z=&9 \\ x &-&2\,y&+&4\,z=&3 \\ \end{matrix}\right\}$$
y mediante las siguientes operaciones elementales entre ecuaciones
$$\left.\begin{matrix} -2\,e_1+3\,e_2 \rightarrow e_2\\ -2\,e_3+3\,e_2 \rightarrow e_3\\ \end{matrix}\right.$$
obtenemos el siguiente sistema equivalente
$$\left.\begin{matrix} 3\,x &-&3\,y&+&z=&11 \\ &&-3\,y&+&4\,z=&5 \\ &&y&-&6\,z=&3 \\ \end{matrix}\right\}$$
que acabamos de escalonar haciendo
$$\left.\begin{matrix} 2\,e_3+e_2 \rightarrow e_3\\ \end{matrix}\right.$$
obteniendo
$$\left.\begin{matrix} 3\,x &-&3\,y&+&z=&11 \\ &&-3\,y&+&4\,z=&5 \\ &&&-&14\,z=&14 \\ \end{matrix}\right\}$$
sistema escalonado por Gauss que tiene $3$ ecuaciones linealmente independientes, luego el rango del sistema de ecuaciones es $3$; y, como el rango coincide con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado, por lo que la solución es única. Veamos cuál es. De la última ecuación, despejamos $z$ sin dificultad, obteniendo $z=-1$; sustituyendo dicho valor en la segunda ecuación del sistema reducido llegamos a $y=-3$. Y, finalmente, sustituyendo $z=-1$ e $y=-3$ en la primera ecuación y despejando la incógnita $x$ resulta $x=1$.
Y se comprueba fácilmente que la solución ( que representa un punto del espacio tridimensional ) satisface las tres igualdades originales.
$\square$

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