Denotamos por:
$C(j)$: capital al término del $j$-ésimo año ( $j=0,1,\ldots,t$ )
$C_0:=C(0) \ge 0$: capital inicial
$C_{\text{final}}:=C(t)$: capital final
$t$: número de años en depósito
$i$: tasa de interés anual
$f$: frecuencia de liquidación de intereses ( y del pago de la cuota ) en el intervalo de $1$ año
Vamos a suponer, primero, que $C_0=1$, y que $f=1$. Entonces:
al término del primer año obtenemos: $C(1)=1+i$
al término del segundo año: $C(2)=C(1) \cdot (1+i)=(1+i)^2$
al término del tercer año: $C(3)=C(2) \cdot (1+i)=(1+i)^3$
...
y al finalizar el $t$-ésimo año: $C(t)=C(t-1) \cdot (1+i)=(1+i)^t$
Luego el capital final, $C_{\text{final}}$, producido en estas condiciones ( los términos de la sucesión $[C(j)]$ crecen ( $1+i \succ 0$ ) de forma geométrica ) es $$C(t)=C_0\cdot (1+i)^t$$ Podemos generalizar, ahora, esta fórmula, para $C_0 \neq 1$ y $f \succ 1$ escribiendo la expresión general $$C(t)=C_0\cdot\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$$ Cabe apuntar aquí que $\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$ es creciente con $f$.
Tasa Anual Equivalente ( TAE ):
En el caso general ( $f \succ 1$ ) se utiliza la denominada Tasa Anual Equivalente, muy útil para comparar productos bancarios, al objeto de poder tomar una decisión a la hora de contratar uno u otro. Se basa en lo siguiente: en $1$ año, el capital final ( al cabo de ese año ) que se obtiene, pongamos que con $C_0=1$ ( es irrelevante el valor de $C_0$ ), en términos de esta tasa equivalente, ha de ser igual a $$1+\text{TAE}$$ y, por otra parte, según lo dicho arriba, ha de contabilizarse como $$\left(1+\frac{i}{f}\right)^{1\cdot f}$$ luego $$1+\text{TAE}=\left(1+\frac{i}{f}\right)^{f}$$ y por tanto $$\text{TAE}=\left(1+\frac{i}{f}\right)^{f}-1$$
NOTA: Evidentemente, en el caso de que $f$ sea igual a $1$ ( liquidación con período de $1$ año de los intereses que se van generando ) tendremos que $\text{TAE}=i$, como debe ser.
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