$$\dfrac{x}{x^2-9}=\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x^2-6x+9}$$
SOLUCIÓN. Para encontrar una ecuación equivalente, más sencilla, descomponemos en factores ( polinómicos ) primos los polinomios que aparecen en las fracciones algebraicas de los términos de la ecuación ( en este caso, podemos hacerlo simplemente utilizando identidades notables ):
$x^2-9=(x-3)(x+3)$
$x-3$ es un polinomio primo
$x^2-6x+9=(x-3)^2$
Por tanto
$\text{m.c.m.}(x^2-9\,,\,x-3\,,\,x^2-6x+9)=$
$=\text{m.c.m.}\left((x-3(x+3)\,,\,x-3\,,\,(x-3)^2\right)=(x-3)^2(x+3)$
Multiplicando por el mínimo común múltiplo en cada miembro de la ecuación original $$(x-3)^2(x+3)\cdot\dfrac{x}{x^2-9}=(x-3)^2(x+3)\cdot \dfrac{1}{x-3}+(x-3)^2(x+3)\cdot\dfrac{1}{x^2-6x+9}$$
es decir $$\dfrac{(x-3)^2(x+3)x}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{(x-3)^2(x+3)}{x-3}+\dfrac{(x-3)^2(x+3)}{(x-3)^2}$$ y simplificando $$x(x-3)=(x-3)(x+3)+(x+3)$$ esto es $$x^2-3x=x^2-9+x+3$$ y por tanto $$6=4x$$ luego $$x=\dfrac{3}{2}$$
$\square$
[autoría]
