Ecuaciones con cuyos términos son fracciones algebraicas

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$\dfrac{x}{x-3}-\dfrac{x}{x+3}=\dfrac{1}{x^2-9}$$

SOLUCIÓN. Procedemos a reducir a multiplicar por un múltiplo común de los términos de la ecuación, ya que, así, llegaremos a una ecuación equivalente con términos polinómicos; para ello, calculamos el polinomio mínimo común múltiplo de los polinomios de los denominadores $$\text{mcm}(x-3\,,\,x+3\,,\,x^2-9)=(x-3)(x+3)$$ ya que $x-3$ y $x+3$ son polinomios primos y $x^2-9=(x-3((x+3)$
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por este polinomio ( término a término ), $$(x-3)(x+3)\dfrac{x}{x-3}-(x-3)(x+3)\dfrac{x}{x+3}=(x-3)(x+3)\,\dfrac{1}{x^2-9}$$ y cancelando factores iguales en cada término $$x(x+3)-x(x-3)=1$$ que a su vez equivale a $$x^2+3x-x^2+3x=1$$ luego $$6x=1$$ y por tanto $$x=\dfrac{1}{6}$$ $\square$

Resolver la siguiente ecuación

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación
$$\dfrac{x}{x^2-9}=\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x^2-6x+9}$$

SOLUCIÓN. Para encontrar una ecuación equivalente, más sencilla, descomponemos en factores ( polinómicos ) primos los polinomios que aparecen en las fracciones algebraicas de los términos de la ecuación ( en este caso, podemos hacerlo simplemente utilizando identidades notables ):

$x^2-9=(x-3)(x+3)$
$x-3$ es un polinomio primo
$x^2-6x+9=(x-3)^2$

Por tanto
$\text{m.c.m.}(x^2-9\,,\,x-3\,,\,x^2-6x+9)=$
  $=\text{m.c.m.}\left((x-3(x+3)\,,\,x-3\,,\,(x-3)^2\right)=(x-3)^2(x+3)$

Multiplicando por el mínimo común múltiplo en cada miembro de la ecuación original $$(x-3)^2(x+3)\cdot\dfrac{x}{x^2-9}=(x-3)^2(x+3)\cdot \dfrac{1}{x-3}+(x-3)^2(x+3)\cdot\dfrac{1}{x^2-6x+9}$$
es decir $$\dfrac{(x-3)^2(x+3)x}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{(x-3)^2(x+3)}{x-3}+\dfrac{(x-3)^2(x+3)}{(x-3)^2}$$ y simplificando $$x(x-3)=(x-3)(x+3)+(x+3)$$ esto es $$x^2-3x=x^2-9+x+3$$ y por tanto $$6=4x$$ luego $$x=\dfrac{3}{2}$$
$\square$

[autoría]

Resolver la ecuación

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$\dfrac{1}{3-x}-\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{1}{x^2-9}$$

SOLUCIÓN. Podemos expresar la ecuación de la forma $$\dfrac{-1}{x-3}-\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{1}{x^2-9}$$ El mínimo común múltiplo de los polinomios que aparecen en los denominadores de las fracciones algebraicas de los términos de la ecuación es $\text{m.c.m}(x-3\,,\,x^2-9)=(x-3)(x+3)$, pues $x^2-9=(x-3)8x+3)$, luego multiplicando ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo llegaremos a una ecuación equivalente con términos polinómicos $$\dfrac{(-1)(x-3)(x+3)}{x-3}-\dfrac{1\cdot (x-3)(x+3)}{x+3}=\dfrac{1\cdot (x-3)(x+3)}{x^2-9}$$ simplificando $$-(x+3)-(x-3)=1$$ luego $$-2x=1$$ y, por tanto, $$x=-\dfrac{1}{2}$$ $\square$

[autoría]