Resolver la ecuación

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$\dfrac{1}{3-x}-\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{1}{x^2-9}$$

SOLUCIÓN. Podemos expresar la ecuación de la forma $$\dfrac{-1}{x-3}-\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{1}{x^2-9}$$ El mínimo común múltiplo de los polinomios que aparecen en los denominadores de las fracciones algebraicas de los términos de la ecuación es $\text{m.c.m}(x-3\,,\,x^2-9)=(x-3)(x+3)$, pues $x^2-9=(x-3)8x+3)$, luego multiplicando ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo llegaremos a una ecuación equivalente con términos polinómicos $$\dfrac{(-1)(x-3)(x+3)}{x-3}-\dfrac{1\cdot (x-3)(x+3)}{x+3}=\dfrac{1\cdot (x-3)(x+3)}{x^2-9}$$ simplificando $$-(x+3)-(x-3)=1$$ luego $$-2x=1$$ y, por tanto, $$x=-\dfrac{1}{2}$$ $\square$

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Simplificar y multiplicar las fracciones algebraicas

ENUNCIADO. Simplificar la siguientes fracciones algebraicas y, a continuación, realizar el producto de ambas
$$A(x)=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}}}$$

$$B(x)=1+\dfrac{x}{1+\dfrac{x}{1+\dfrac{1}{x}}}$$

SOLUCIÓN.
$A(x)=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}}}=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\dfrac{x+1}{x}}}=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{x}{x+1}}=$

  $=1+\dfrac{1}{\dfrac{2x+1}{x+1}}=1+\dfrac{x+1}{2x+1}=\dfrac{2x+1+x+1}{2x+1}=\dfrac{3x+2}{2x+1}$


$B(x)=1+\dfrac{x}{1+\dfrac{x}{1+\dfrac{1}{x}}}=1+\dfrac{x}{1+\dfrac{x}{\dfrac{x+1}{x}}}=1+\dfrac{x}{1+\dfrac{x^2}{x+1}}=$

  $=1+\dfrac{x}{\dfrac{x^2+x+1}{x+1}}=1+\dfrac{x\,(x+1)}{x^2+x+1}=\dfrac{(x^2+x+1)+(x^2+x)}{x^2+x+1}=$

    $=\dfrac{2\,x^2+2\,x+1}{x^2+x+1}$

Entonces, $$A(x) \cdot B(x) = \dfrac{3x+2}{2x+1} \cdot \dfrac{2\,x^2+2\,x+1}{x^2+x+1}=$$ $$=\dfrac{(3x+2)(2\,x^2+2\,x+1)}{(2x+1)(x^2+x+1)}=\dfrac{6\,x^3+10\,x^2+7\,x+2}{2\,x^3+3\,x^2+3\,x+1}$$

$\square$

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