Denotamos por:
$C_0:=C(0) \ge 0$: capital inicial
$C_{\text{final}}$: capital final
$t$: número de años en depósito a interés simple
$i$: tasa de interés anual ( en tanto por unidad ), esto es, $i=\dfrac{r}{100}$ ( siendo $r$ el rédito anual, en tanto por ciento )
$I$: interés ( final ) obtenido
Vamos a suponer, primero, que $C_0=1$, sin que ello entrañe pérdida de generalidad en lo que vamos a obtener. Entonces:
al término del primer año obtenemos un interés igual a $i$
al término del segundo año, obtenemos un interés acumulado igual a $2\,i$
al término del tercer año, $3\,i$
...
y al finalizar el $t$-ésimo año, tendremos un interés final igual a $t\cdot i$
Luego, para $C_0 \neq 0 $ ( y, por supuesto, mayor que $0$ ), el interés total, $I$, viende dado por la expresión ( fórmula ) $$I=C_0 \, i\, t$$
Por consiguiente, el capital final, $C_{\text{final}}$, viene dado por la expresión $$C_{\text{final}}=C_0+I$$ esto es $$C_f=C_0(1+i\,t)$$
NOTA: En este modelo de interés ( simple ) -- el interés generado, período a período, crece de forma lineal ( según una sucesión aritmética ) -- no importa cuál sea el valor de la frecuencia de liquidación de los intereses en el intervalo de $1$ año, $f$; en efecto, si $f \succ 1$, tenemos que $$C_{\text{final}}=C_0(1+\frac{i}{f}\cdot t\cdot f)=C_0(1+i\,t)$$ que es lo mismo que si $f=1$.
$\square$
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