Calcular el beneficio, a interés simple ...

ENUNCIADO. ¿ Cuál es el beneficio que se obtiene, a interés simple, imponiendo $500,00$ euros a una tasa de interés anual ( rédito ) del $2\,\%$ durante $950$ días ? ¿ Cuál es la cantidad de dinero que podremos obtener en total ?

SOLUCIÓN. Aplicando la fórmula del interés simple $$I=C_{0}\cdot i \cdot t$$ y teniendo en cuenta que, por convenio, el año comercial es de $360$ días encontramos , vemos que ( redondeando al céntimo ) el interés producido es $$I=500,00\cdot 0,02 \cdot \dfrac{950}{360} = 26,39 \; \text{euros}$$ y la cantidad total de dinero es $$500,00+26,39=526,39 \; \text{euros}$$ \par
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[autoría]

Interés simple

Deducción de la fórmula del interés simple

Denotamos por:


$C_0:=C(0) \ge 0$: capital inicial
$C_{\text{final}}$: capital final
$t$: número de años en depósito a interés simple
$i$: tasa de interés anual ( en tanto por unidad ), esto es, $i=\dfrac{r}{100}$ ( siendo $r$ el rédito anual, en tanto por ciento )
$I$: interés ( final ) obtenido

Vamos a suponer, primero, que $C_0=1$, sin que ello entrañe pérdida de generalidad en lo que vamos a obtener. Entonces:

al término del primer año obtenemos un interés igual a $i$
al término del segundo año, obtenemos un interés acumulado igual a $2\,i$
al término del tercer año, $3\,i$
...
y al finalizar el $t$-ésimo año, tendremos un interés final igual a $t\cdot i$

Luego, para $C_0 \neq 0 $ ( y, por supuesto, mayor que $0$ ), el interés total, $I$, viende dado por la expresión ( fórmula ) $$I=C_0 \, i\, t$$

Por consiguiente, el capital final, $C_{\text{final}}$, viene dado por la expresión $$C_{\text{final}}=C_0+I$$ esto es $$C_f=C_0(1+i\,t)$$

NOTA: En este modelo de interés ( simple ) -- el interés generado, período a período, crece de forma lineal ( según una sucesión aritmética ) -- no importa cuál sea el valor de la frecuencia de liquidación de los intereses en el intervalo de $1$ año, $f$; en efecto, si $f \succ 1$, tenemos que $$C_{\text{final}}=C_0(1+\frac{i}{f}\cdot t\cdot f)=C_0(1+i\,t)$$ que es lo mismo que si $f=1$.
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[autoría]

Interès simple vs interès compost

Enunciat:
Dipositem per un temps de $8$ anys un capital inicial, $C_0$, de $1\,500,00 \, \text{euro}$ en un compte bancari, a una taxa d'interès nominal, $i$, del $2\,\%$ anual. Calculeu el capital final $C_8$, i el valor de l'interès final, $I_{8}$, d'acord amb els següents models:
  (a) interès simple
  (a) interès compost

Solució:
Designem per $n$ el nombre d'intervals de temps al final de cadascun dels quals es fan efectius els interessos i que en el cas que ens toca és igual a $8$ anys. Llavors,
  (a)
Segons el model d'interès simple ( progressió aritmètica ) l'interès final és
    $I_{n}=C_{0}\,i\,n$
per tant
    $I_{8}=1\,500,00 \cdot 0,02\cdot 8 = 240,00 \, \text{euro}$
i el capital final,
    $C_n=C_0+I_n$
és igual a
    $C_8=1\,500,00+240,00 = 1\,740,00 \, \text{euro}$

  (b)
Segons el model d'interès simple ( progressió geomètrica ) el capital final és
    $C_{n}=C_{0}\,\big(1+i\big)^{n}$
per tant
    $C_{8}=C_{0}\,\big(1+0,02\big)^{8} \approx 1\,757,49 \, \text{euro}$
i l'interès final serà igual a
    $I_n=C_n-C_0$
pren el següent valor
    $I_8 = C_8 - C_0 \approx 1\,757,49 - 1\,500,00 \, \text{euro}$
          $ \approx 257,49 \, \text{euro} $
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[nota del autor]