Matemática financiera

ENUNCIADO. Un cierto capital se quiere aumentar en un $15\,\%$. Para ello, se coloca al $4\,\%$ de interés ( compuesto ) anual, liquidando los intereses cada cuatro meses. ¿ Cuánto tiempo debe permanecer depositado dicho capital ?

SOLUCIÓN.

Calcular el tiempo necesario y la TAE

ENUNCIADO. Un capital de $4\,500,00$ euros se quiere aumentar en un $10\,\%$. Para ello, se coloca al $1,5\,\%$ de interés ( compuesto ) anual, liquidando los intereses cada tres meses. ¿ Cuánto tiempo debe permanecer depositado dicho capital ? ¿ Cuál es la TAE ?.

SOLUCIÓN.
El capital final es $C_{\text{final}}=4500,00+4500,00\cdot0,1=1,1\cdot 4500,00=4950,00$ euros . Como el periodo de liquidación de intereses es trimestral, la frecuencia de dicha operación es $f=\dfrac{12}{3}=4$. Entonces, de la fórmula del capital final a interés compuesto, $C_{\text{final}}=C_{\text{inicial}}\cdot \left(1+\dfrac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$ donde $t$ denota el número de años; y, poniendo los datos, $$4950=4500\cdot \left(1+\dfrac{0,015}{4}\right)^{4t}$$ esto es $$\dfrac{11}{10}= \left(1,00375\right)^{4t}$$ Sacando logaritmos en cada miembro $$\ln\,\dfrac{11}{10}=4t\,\ln\,{1,00375}$$ de donde, despejando $t$, $$t=\dfrac{\ln\,\frac{11}{10}}{4\cdot \ln\,1,00375}\approx 6,37\,\text{años} \approx 6\,\text{años y}\,5\,\text{meses}$$

Por último, procedemos a calcular la tasa anual equivalente: $$\text{TAE}=\left(1+\dfrac{i}{f}\right)^f-1$$ que, con los datos del problema, es igual a $$\text{TAE}=\left(1+\dfrac{0,015}{4}\right)^4-1\approx 0,0151 = 1,51\,\%$$

$\square$

Hacer los siguientes cálculos acerca de un préstamo

ENUNCIADO. Se desea comprar un piso cuyo precio es de $350\,000$ euros. Se quiere pagar de la siguiente manera: con unos ahorros, un pago inicial del $30\,\%$ del total; y, para pagar la cantidad restante, se pide un préstamo hipotecario a un banco, al $2\,\%$ de interés anual, a pagar en cuotas mensuales durante $20$ años. Se pide:

a) El valor de dichas mensualidades

b) ¿ Qué parte de la primera mensualidad corresponde al pago de intereses y qué parte corresponde a la amortización de capital ? ¿ Cuál es el montante de la deuda tras realizar el pago de la primera mensualidad ?.

SOLUCIÓN.
a)
Teniendo en cuenta la fórmula de la cuota, $q$, de amortización de un préstamo, $P$, $$q=P\cdot \dfrac{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}\cdot \dfrac{i}{f}}{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}-1}$$
El valor del préstamo es igual a $(1-0,3)\cdot 350\,000=245\,000$ euros; $i=0,02$; $t=20$ años; y, al tratarse de cuotas mensuales ( liquidación de intereses doce veces al año ), $f=12$; por tanto,
$$q=245\,000\cdot \dfrac{\left(1+\frac{0,02}{12}\right)^{20\cdot 12}\cdot \dfrac{0,02}{12}}{\left(1+\frac{0,02}{12}\right)^{20\cdot 12}-1}\approx 1239,41\; \text{euros}$$

b)
La parte de la 1.ª mensualidad destinada al pago de intereses es $$1239,41 \cdot 0,02=24,79\;\text{euros}$$ y la parte destinada a la amortización de capital $$1239,41 \cdot (1-0,02)=1241,63\;\text{euros}$$ por lo que el montante de la deuda en ese momento es igual a $$245\,000-1241,63=243\,785,37\;\text{euros}$$
$\square$

Calcular el beneficio, a interés simple ...

ENUNCIADO. ¿ Cuál es el beneficio que se obtiene, a interés simple, imponiendo $500,00$ euros a una tasa de interés anual ( rédito ) del $2\,\%$ durante $950$ días ? ¿ Cuál es la cantidad de dinero que podremos obtener en total ?

SOLUCIÓN. Aplicando la fórmula del interés simple $$I=C_{0}\cdot i \cdot t$$ y teniendo en cuenta que, por convenio, el año comercial es de $360$ días encontramos , vemos que ( redondeando al céntimo ) el interés producido es $$I=500,00\cdot 0,02 \cdot \dfrac{950}{360} = 26,39 \; \text{euros}$$ y la cantidad total de dinero es $$500,00+26,39=526,39 \; \text{euros}$$ \par
$\square$

[autoría]

Calcular el capital final a interés compuesto ...

ENUNCIADO. ¿ Cuál es el capital final que se obtiene, a interés compuesto, imponiendo $500,00$ euros a una tasa de interés anual ( rédito ) del $2\,\%$ durante $950$ días, si los intereses se liquidan cada tres meses ? ¿ Qué beneficio ( interés ) se obtiene ?

SOLUCIÓN. Aplicando la fórmula del interés compuesto $$C_{\text{final}} \equiv C(t)=C_0\cdot\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$$ con frecuencia de liquidación de intereses $f=\dfrac{12}{3}=4$, encontramos que ( redondeando al céntimo ), el capital final es $$500,00\cdot \left( 1+\dfrac{0,02}{4} \right)^{\frac{950}{360}\cdot 4} = 527,03 \;\text{euros} $$ y el beneficio ( interés total ) es igual a $$527,03-500,00=27,03 \;\text{euros}$$ \par
$\square$

[autoría]

Calcular la cantidad capitalizada ...

ENUNCIADO. Establecemos un plan de capitalización, consistente en ingresar $2000$ euros cada año ( cada principio de año ), durante $10$ años, a una tasa de interés anual del $3\,\%$. ¿ Cuál será el capital al término de dicho plan ?. \par \vspace*{0,2cm} \noindent
SOLUCIÓN.
Aplicando la fórmula de la cantidad a capitalizar $$C=q\cdot(1+\frac{i}{f})\cdot\left(\dfrac{(1+\frac{i}{f})^{f\cdot t}-1}{\frac{i}{f}}\right)$$ y con los siguientes datos:
$q=2\,000$ euros \par
$t=10$ años\par
$i=0,03$\par
$f=1$\par
obtenemos
$$C=2000\cdot(1+\dfrac{0,03}{1})\cdot\left(\frac{(1+\frac{0,03}{1})^{1\cdot 10}-1}{\frac{0,03}{1}}\right)=23\,615,59\; \text{euros}$$
$\square$

[autoría]

Amortización de un préstamo

ENUNCIADO. Un empresario ha pedido un préstamo de $40\,000$ euros a un banco, con una tasa de interés anual del $5\,\%$, a devolver en $3$ años. ¿ Cuál es el importe de la cuota anual ?.


SOLUCIÓN.
Aplicando la fórmula de la cuota ( periódica ) de amortización $$q=C\cdot\dfrac{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f} \cdot \frac{i}{f}}{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}-1}$$
y con los siguientes datos:
$C=40\,000$ euros \par
$t=3$ años\par
$i=0,05$\par
$f=1$\par
Aplicando la fórmula de la cuota ( periódica ) de amortización $$q=40\,000\cdot\dfrac{\left(1+\frac{0,05}{1}\right)^{3\cdot 1} \cdot \frac{0,05}{1}}{\left(1+\frac{0,05}{1}\right)^{3\cdot 1}-1}=14\,686,34\;\text{euros}$$
$\square$

[autoría]

Hipoteca inversa

ENUNCIADO. Al cumplir $65$ años, una mujer se jubila, y decide contratar un una pensión hipotecaria ( o hipoteca inversa ), a una tasa de interés anual del $4\,\%$, con el fin de complementar su pensión de jubilación ( que prevé escasa para satisfacer sus necesidades ). Para negociar con el banco, cuenta con su vivienda, que está tasada en $200\,000$ euros ( habiendo llegado a un acuerdo previo con sus herederos para que éstos rescaten la vivienda después de su muerte, pagando al banco el préstamo recibido de dicha entidad ); a cambio, recibirá del banco una cantidad mensual durante el resto de su vida. Según los estudios estadísticos, se estima que la esperanza de vida para una mujer ( a partir de los 65 años ), es de $22,57$ años \footnote{Este tipo de datos pueden consultarse en el INE ( Instituto Nacional de Estadística )}. ¿ Cuál es la cantidad mensual que recibirá ?.

SOLUCIÓN.
Aplicando la fórmula de la cuota ( periódica ) de amortización $$q=C\cdot\dfrac{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f} \cdot \frac{i}{f}}{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}-1}$$ donde $C=200\,000$ euros; $t=22,57$ años; $f=12$ ( la liquidación de intereses se efectúa cada mes, esto es, $12$ veces al año ), e $i=0,04$ ( tasa de interés anual ). En estas condiciones, la señora percibirá la siguiente cuota mensual, hasta el momento de su fallecimiento: $$q=500\,000\cdot\dfrac{\left(1+\frac{0,04}{12}\right)^{22,57\cdot 12} \cdot \frac{0,04}{12}}{\left(1+\frac{0,04}{12}\right)^{22,57\cdot 12}-1} = 1122,41\;\text{euros}$$
$\square$

[autoría]

Matemàtica financera. Amortizació i capitalització

Suposem que dipositem $1 \, \text{\euro}$ durant $t$ anys a una taxa d'interès anual $i$ (expressada en tant per u). Llavors, al final del primer any el capital (més els interessos) serà igual a $1+i$; aquesta quantitat, al llarg del 2n any produirà els respectius interessos $(1+i)\,i$ que, afegits a aquesta quantitat, donen el capital total acumulat al final del 2n any
$(1+i)\,i+(1+i)$, expressió que, extraient factor comú, queda igual a $(1+i)^2$. Al final del tercer anys - fent un càlcul anàleg - trobarem un capital acumulat igual a $(1+i)^2$; i, així, successivament. Podem inferir de tot això que al cap de $t$ anys hi haurà acumulat un capital igual a $(1+i)^t$. Naturalment, si enlloc de $1\,\text{\euro}$ dipositem $C_0$ euros, el capital acumulat serà igual a
$C_{0} \,(1+i)^t$.
Heus aquí, per tant, la fórmula del capital acumulat al cap de $t$ anys
$C(t)=C_{0} \,(1+i)^t$
Cal tenir en compte que si la freqüència $f$ amb què es fan efectius els interessos al llarg d'un any és més gran que u (per exemple, semestralment: $f=2$; o bé trimestralment, $f=4$), caldrà matisar-ho en la fórmula anterior, i s'escriurà, doncs, de la manera següent:
$C(t)=C_{0} \,(1+\frac{i}{f})^{t \,f}$

Cal tenir en compte que com més gran sigui el valor de $f$ més gran serà el valor del capital final; per això us recomano que llegiu l'escrit d'aquest mateix blog, resenyat a sota, on apareix la noció de taxa anual equivalent (T.A.E.), molt important per entendre l'oferta dels productes bancaris. En l'escrit, també s'exposa com, en el límit ( quan $f >> 1 $ ) apareix el nombre transcendent $e$ (base dels logaritmes neperians) en la fórmula del paràgraf anterior.
[ http://matematiques-a-secundaria.blogspot.com.es/2011/12/el-nombre-e.html ]

AMORTITZACIÓ D'UN PRÈSTEC

Per amortitzar un prèstec de quantia $P$, consdierem que paguem una quantitat anual $a$ durant $t$ anys. L'anualitat es paga al final de l'any, i comporta uns interessos - que ens ajudaran a amortitzar la quantitat que ens han prestat - i que es fan efectius al final; així, la primera anualitat aporta $a\,(1+i)^{t-1}$; la segona (dipositada al final del 2n any), $a\,(1+i)^{t-2}$; la tercer, $a\,(1+i)^{t-3}$; i així successivament, fins a l'última (que, naturalment, no dóna interessos), $a$. Sumant aquestes quantitats
$a\,(1+i)^{t-1}+a\,(1+i)^{t-2}+a\,(1+i)^{t-3}+\ldots+a\,(1+i)+a$
obtenim (suma de $t$ termes d'una successió geomètrica de raó igual a $1+i$)

$a \, \dfrac{(1+i)^t-1}{i} \quad \quad \quad (1)$
Per contra, la quantitat $P$ prestada també dóna interessos a favor de l'entitat que els ha prestat i, per tant, en sumar-los a la quantitat (capital) nominal que s'havia prestat fan un total de

$P\,(1+i)^t \quad \quad \quad (2)$

Finalment, calcularem el valor de les aportacions periòdiques (anuals). És obvi que les quantitats (1) i (2) han de tenir el mateix valor; per tant

$a \, \dfrac{(1+i)^t-1}{i} = P\,(1+i)^t$

I, aïllant $a$ trobem

$a=P \cdot \dfrac{i}{1-(1+i)^{-t}}$

Si enlloc de fer les aportacions anualment es fan $f$ vegades a l'any, la fórmula anterior queda de la forma

$a=P \cdot \dfrac{\frac{i}{f}}{1-(1+\frac{i}{f})^{- t\,f}}$

CAPITALITZACIÓ

Un dels productes que ofereixen les entitats bancàries consisteix a capitalitzar una determinanda quantitat $C$ al llarg d'un nombre d'anys $t$, de la següent manera: a començament de - per exemple - cada any, cal dipositar en un compte bancari una quantitat $a$ (que anomenarem anualitat) i que produeix uns interessos al llarg del temps que hi roman dipositada (sense moure-la) segons una taxa d'interès anual $i$ (que, a les fórmules que exposarem a continuació, ve donada en tant per u).

La primera anualitat, que imposem al començament del primer any, queda dipositada durant $t$ anys i, per tant, al final es converteix en $a\,(1+i)^{t}$; la segona (dipositada en començar el segon any) es convertirà en $a\,(1+i)^{t-1}$; la tercera anualitat, en $a\,(1+i)^{t-2}$; i així successivament, fins a l'última anualitat que es aporta $a\,(1+i)$. Sumant aquestes $t$ termes (quantitats)
$a\,(1+i)^{t}+a\,(1+i)^{t-1}+a\,(1+i)^{t-2}+\ldots+a\,(1+i)^2+a\,(1+i)$
obtenim la quantitat que, d'aquesta manera, capitalitzarem al final (suma de $t$ termes d'una successió geomètrica de raó igual a $1+i$ )

$C=a \, \dfrac{1+i}{i} \, \left[(1+i)^t-1 \right]$

Si enlloc de fer les aportacions anualment es fan $f$ vegades a l'any, la fórmula anterior queda de la forma

$C=a \, \dfrac{1+\frac{i}{f}}{\frac{i}{f}} \, \left[(1+\frac{i}{f})^{f\,t}-1 \right]$

$\square$

[nota del autor]

Un exercici bàsic sobre el problema de l'interès compost

Enunciat:
Primera part:
Considerem una quantitat $C_{0}$ (donada en unitats monetàries arbitràries ) que cada determinat interval de temps produeix un benefici que calculem com una part proporcional del valor de la quantitat acumulada a l'interval de temps anterior. Designem amb la lletra $i$ ( en tant per u ) aquesta part proporcional, i l'anomenarem taxa d'interès nominal ( referida al període de temps establert ). Quina quantitat queda acumulada al final de l'n-èssim interval de temps ? Quin benefici ( interès ) s'obté ?.

Segona part:
Volem fer un pla d'estalvis i, per això, dipositem un capital inicial $C_0$ de $600,00\,\text{euro}$ en un dipòsit bancari, a una taxa d'interès anual $i$ del $2\,\%$ un temps total de $2 \;\text{anys}$. Tenint en compte que la freqüència $f$ amb què es compatibilitzen els interessos és igual a $4$ ( trimestralment ), calculeu:
  a) El capital final $C_{final}$
  b) Els interessos finals $I$
  c) El valor de la taxa anual equivalent ( $\text{T.A.E.}$ ) d'aquest pla d'estalvis

Solució de la primera part:
Al final del primer interval la quantitat $C_0$ s'ha convertit en $C_0+C_0\,i$ que, per comoditat, expressem de la forma $C_{0}\,(1+i)$

Al final del segon interval, trobem $C_{0}\,(1+i)\,i+C_{0}\,(1+i)$ i, traient factor comú, es pot escriure de la forma $C_{0}\,(1+i)^2$

Al final del tercer interval, trobem $C_{0}\,(1+i)^2\,i+C_{0}\,(1+i)^2$ i, traient factor comú, es pot escriure de la forma $C_{0}\,(1+i)^3$

I, així, successivament, d'acord amb la regla de formació del valors dels termes d'una successió geomètrica. Per tant, és clar que al final de l'n-èssim interval trobarem una quantitat acumulada $C_n$ igual a $C_{0}\,(1+i)^n$

El benefici obtingut ( que anomenem interès compost i designem amb la lletra $I$ ) és, per definició, $C_n-C_0$ i, operant, s'escriu
$I=C_{0}\,(1+i)^n-C_0$
  $=C_0\,\big((1+i)^n-1\big)$

Solució de la segona part:
a)
Tenint en compte, ara, que, el nombre d'intervals $n$ és igual a $f\cdot t$ i que, per tant, la taxa d'interès que cal tenir en compte per a cada interval és igual a la taxa d'interes anual (nominal) dividida pel nombre d'intervals, $\frac{i}{f}$, podem escriure que el capital final $C_{final}$ és igual a
    $C_{final}=C_0\,\big(1+\frac{i}{f}\big)^{f\,t}$
                $=600,00\,\big(1+\frac{0,02}{4}\big)^{4\cdot 2}$
            $\approx             624,42\;\text{euro}$

b)
El benefici o ( interès final ) és igual a $C_{final}-C_0$, és a dir, $24,42\; \text{euro}$

c)
A partir de la freqüència $f$ amb què es fan efectius els interessos periòdicament, i, de la taxa d'interès nominal $i$, la taxa anual equivalent $\text{T.A.E.}$ es una estimació del rendiment d'un producte financer. Aquesta taxa anual equivalent ( $\text{T.A.E.}$ ) es calcula igualant els interessos que produeix un determinat capital inicial $C_0$ durant un any ( $t=1$ ) comptant: d'una banda, els interessos que produeix d'acord a una taxa d'interès igual a la taxa anual equivalent $\text{T.A.E}$ ( que, precisament, volem calcular), i, de l'altra, els interessos que produeix el mateix capital inicial $C_0$ segons el mode d'interès compost establert ( a una taxa d'interès nominal $i$ i amb una freqüència de capitalització $f$ ).

Per comoditat ( i sense pèrdua de generalitat ) suposarem que el capital inicial $C_0$ és igual a una unitat monetària ( $C_0=1$ ); per tant, d'acord amb el que s'acaba de plantejar, escriurem la següent equació:
    $1+\frac{\text{T.A.E.}}{1}=\big(1+\frac{i}{f}\big)^{1\cdot f}$
d'on, aïllant la incògnita, que és la $\text{T.A.E.}$, arribem a l'expressió que ens ha de servir per calcular aquesta taxa anual equivalent:
    $\text{T.A.E.}=\big(1+\frac{i}{f}\big)^{1\cdot f}-1$

Finalment, substituint les dades del problema ( $i=0,02$   $f=4$ ), trobem el següent resultat:
    $\text{T.A.E.}=\big(1+\frac{0,02}{4}\big)^{1\cdot 4}-1$
                $= 0,02015(05\ldots)$
                $\approx 0,0202(\ldots) \rightarrow 2,02\,\%$

Nota 1:     Com que $f$ representa el nombre d'intervals de capitalització en un any, $f \ge 1$
Nota 2:     Cal remarcar el fet que $\text{T.A.E.} \ge i$ atès que si $f\;\uparrow$, $\text{T.A.E.}\;\uparrow$; en particular, si $f=1$, $\text{T.A.E.}=i$.

$\square$

[nota del autor]

Cálculo de la TAE. Un ejercicio de programación en C/C++

//-----------------------------------------------------------------
// Càlcul de la Taxa Anual Equivalent
// Joan Aranès Clua
// data: 20/11/2001
// Aquest programa calcula la TAE (Taxa Anual Equivalent)
// a partir de:
//   1. la taxa d’interès nominal anual, i (expressada en tant per u) 
//   2. i del nombre de pagaments de fraccionament, n
// segons la fórmula: $TAE = ( 1 + i/n )^n-1$  
//-----------------------------------------------------------------

#include <stdio.h>          //printf i scanf
#include <stdlib.h>         //system() .. per a la f. cls
#include <math.h>			// càlculs
void main()

{

    double i;  // taxa d'interès nominal (dada d'entrada)
    double n;  // nombre de pagaments de fraccionament (dada d'entrada)
	double tae; // TAE anual (resultat del programa expressat en %)

    system("cls"); //esborra la pantalla
    printf("taxa d'inter\x08As nominal - expressada en tant per u -:\n");
    scanf("%lf",&i);
    printf("nombre de pagaments de fraccionament:\n");
    scanf("%lf",&n);
	
    tae=pow(( 1 + i/n ), n)-1; //càlcul de la TAE
    printf("TAE = %.4lf  \n",tae);

}