Amortización de un préstamo

ENUNCIADO. Un empresario ha pedido un préstamo de $40\,000$ euros a un banco, con una tasa de interés anual del $5\,\%$, a devolver en $3$ años. ¿ Cuál es el importe de la cuota anual ?.


SOLUCIÓN.
Aplicando la fórmula de la cuota ( periódica ) de amortización $$q=C\cdot\dfrac{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f} \cdot \frac{i}{f}}{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}-1}$$
y con los siguientes datos:
$C=40\,000$ euros \par
$t=3$ años\par
$i=0,05$\par
$f=1$\par
Aplicando la fórmula de la cuota ( periódica ) de amortización $$q=40\,000\cdot\dfrac{\left(1+\frac{0,05}{1}\right)^{3\cdot 1} \cdot \frac{0,05}{1}}{\left(1+\frac{0,05}{1}\right)^{3\cdot 1}-1}=14\,686,34\;\text{euros}$$
$\square$

[autoría]

Deducción de la fórmula de amortización.

Denotamos por:
$q$: cuota periódica ( se impone al final de cada período )
$C$: capital prestado
$t$: número de años del plan de amortización
$i$: tasa de interés anual
$f$: frecuencia de liquidación de intereses ( y del pago de la cuota ) en el intervalo de $1$ año

Vamos a suponer, primero, que $f=1$. Entonces:

la primera cuota produce: $(1+i)^{t-1}$
la segunda cuota produce: $(1+i)^{t-2}$
la tercera cuota produce: $(1+i)^{t-3}$
...
la $(t-1)$-ésima cuota produce: $(1+i)^{2}$
y la $t$-ésima ( y última ) produce: $1$

Luego el capital total producido en estas condiciones es $$q\cdot \left(1+(1+i)+(1+i)^{2}+(1+i)^{3}+\overset{\underbrace{t}}{\ldots}+(1+i)^{t-2}+(1+i)^{t-1}\right)$$ que es la suma de $t$ términos de una progresión geométrica de razón $1+i$ y primer término $1$, luego el valor de dicha suma es $$q\cdot\dfrac{(1+i)^{t}-1}{(1+i)-1}$$ expresión que, simplificada, queda $$q\cdot\dfrac{(1+i)^{t}-1}{i}$$ por otra parte la cantidad prestada, en los $t$ años, produce $$C\cdot(1+i)^t$$ que debe ser igual a la cantidad que proviene de la suma anterior, luego $$q\cdot\dfrac{\left(1+i\right)^{t}-1}{i}=C\cdot(1+i)^t$$

Así, si, ahora, consideramos que ( en general ) $f \succ 1$ llegamos a la siguiente generalización de la fórmula anterior $$q\cdot\dfrac{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}-1}{\frac{i}{f}}=C\cdot\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$$ Despejando $q$ ( cuota a pagar ) obtenemos $$q=C\cdot\dfrac{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f} \cdot \frac{i}{f}}{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}-1}$$

$\square$

[autoría]

Matemàtica financera. Amortizació i capitalització

Suposem que dipositem $1 \, \text{\euro}$ durant $t$ anys a una taxa d'interès anual $i$ (expressada en tant per u). Llavors, al final del primer any el capital (més els interessos) serà igual a $1+i$; aquesta quantitat, al llarg del 2n any produirà els respectius interessos $(1+i)\,i$ que, afegits a aquesta quantitat, donen el capital total acumulat al final del 2n any
$(1+i)\,i+(1+i)$, expressió que, extraient factor comú, queda igual a $(1+i)^2$. Al final del tercer anys - fent un càlcul anàleg - trobarem un capital acumulat igual a $(1+i)^2$; i, així, successivament. Podem inferir de tot això que al cap de $t$ anys hi haurà acumulat un capital igual a $(1+i)^t$. Naturalment, si enlloc de $1\,\text{\euro}$ dipositem $C_0$ euros, el capital acumulat serà igual a
$C_{0} \,(1+i)^t$.
Heus aquí, per tant, la fórmula del capital acumulat al cap de $t$ anys
$C(t)=C_{0} \,(1+i)^t$
Cal tenir en compte que si la freqüència $f$ amb què es fan efectius els interessos al llarg d'un any és més gran que u (per exemple, semestralment: $f=2$; o bé trimestralment, $f=4$), caldrà matisar-ho en la fórmula anterior, i s'escriurà, doncs, de la manera següent:
$C(t)=C_{0} \,(1+\frac{i}{f})^{t \,f}$

Cal tenir en compte que com més gran sigui el valor de $f$ més gran serà el valor del capital final; per això us recomano que llegiu l'escrit d'aquest mateix blog, resenyat a sota, on apareix la noció de taxa anual equivalent (T.A.E.), molt important per entendre l'oferta dels productes bancaris. En l'escrit, també s'exposa com, en el límit ( quan $f >> 1 $ ) apareix el nombre transcendent $e$ (base dels logaritmes neperians) en la fórmula del paràgraf anterior.
[ http://matematiques-a-secundaria.blogspot.com.es/2011/12/el-nombre-e.html ]

AMORTITZACIÓ D'UN PRÈSTEC

Per amortitzar un prèstec de quantia $P$, consdierem que paguem una quantitat anual $a$ durant $t$ anys. L'anualitat es paga al final de l'any, i comporta uns interessos - que ens ajudaran a amortitzar la quantitat que ens han prestat - i que es fan efectius al final; així, la primera anualitat aporta $a\,(1+i)^{t-1}$; la segona (dipositada al final del 2n any), $a\,(1+i)^{t-2}$; la tercer, $a\,(1+i)^{t-3}$; i així successivament, fins a l'última (que, naturalment, no dóna interessos), $a$. Sumant aquestes quantitats
$a\,(1+i)^{t-1}+a\,(1+i)^{t-2}+a\,(1+i)^{t-3}+\ldots+a\,(1+i)+a$
obtenim (suma de $t$ termes d'una successió geomètrica de raó igual a $1+i$)

$a \, \dfrac{(1+i)^t-1}{i} \quad \quad \quad (1)$
Per contra, la quantitat $P$ prestada també dóna interessos a favor de l'entitat que els ha prestat i, per tant, en sumar-los a la quantitat (capital) nominal que s'havia prestat fan un total de

$P\,(1+i)^t \quad \quad \quad (2)$

Finalment, calcularem el valor de les aportacions periòdiques (anuals). És obvi que les quantitats (1) i (2) han de tenir el mateix valor; per tant

$a \, \dfrac{(1+i)^t-1}{i} = P\,(1+i)^t$

I, aïllant $a$ trobem

$a=P \cdot \dfrac{i}{1-(1+i)^{-t}}$

Si enlloc de fer les aportacions anualment es fan $f$ vegades a l'any, la fórmula anterior queda de la forma

$a=P \cdot \dfrac{\frac{i}{f}}{1-(1+\frac{i}{f})^{- t\,f}}$

CAPITALITZACIÓ

Un dels productes que ofereixen les entitats bancàries consisteix a capitalitzar una determinanda quantitat $C$ al llarg d'un nombre d'anys $t$, de la següent manera: a començament de - per exemple - cada any, cal dipositar en un compte bancari una quantitat $a$ (que anomenarem anualitat) i que produeix uns interessos al llarg del temps que hi roman dipositada (sense moure-la) segons una taxa d'interès anual $i$ (que, a les fórmules que exposarem a continuació, ve donada en tant per u).

La primera anualitat, que imposem al començament del primer any, queda dipositada durant $t$ anys i, per tant, al final es converteix en $a\,(1+i)^{t}$; la segona (dipositada en començar el segon any) es convertirà en $a\,(1+i)^{t-1}$; la tercera anualitat, en $a\,(1+i)^{t-2}$; i així successivament, fins a l'última anualitat que es aporta $a\,(1+i)$. Sumant aquestes $t$ termes (quantitats)
$a\,(1+i)^{t}+a\,(1+i)^{t-1}+a\,(1+i)^{t-2}+\ldots+a\,(1+i)^2+a\,(1+i)$
obtenim la quantitat que, d'aquesta manera, capitalitzarem al final (suma de $t$ termes d'una successió geomètrica de raó igual a $1+i$ )

$C=a \, \dfrac{1+i}{i} \, \left[(1+i)^t-1 \right]$

Si enlloc de fer les aportacions anualment es fan $f$ vegades a l'any, la fórmula anterior queda de la forma

$C=a \, \dfrac{1+\frac{i}{f}}{\frac{i}{f}} \, \left[(1+\frac{i}{f})^{f\,t}-1 \right]$

$\square$

[nota del autor]