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miércoles, 10 de octubre de 2018
domingo, 15 de noviembre de 2015
Amortización de un préstamo
ENUNCIADO. Un empresario ha pedido un préstamo de $40\,000$ euros a un banco, con una tasa de interés anual del $5\,\%$, a devolver en $3$ años. ¿ Cuál es el importe de la cuota anual ?.
SOLUCIÓN.
Aplicando la fórmula de la cuota ( periódica ) de amortización $$q=C\cdot\dfrac{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f} \cdot \frac{i}{f}}{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}-1}$$
y con los siguientes datos:
$C=40\,000$ euros \par
$t=3$ años\par
$i=0,05$\par
$f=1$\par
Aplicando la fórmula de la cuota ( periódica ) de amortización $$q=40\,000\cdot\dfrac{\left(1+\frac{0,05}{1}\right)^{3\cdot 1} \cdot \frac{0,05}{1}}{\left(1+\frac{0,05}{1}\right)^{3\cdot 1}-1}=14\,686,34\;\text{euros}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
Aplicando la fórmula de la cuota ( periódica ) de amortización $$q=C\cdot\dfrac{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f} \cdot \frac{i}{f}}{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}-1}$$
y con los siguientes datos:
$C=40\,000$ euros \par
$t=3$ años\par
$i=0,05$\par
$f=1$\par
Aplicando la fórmula de la cuota ( periódica ) de amortización $$q=40\,000\cdot\dfrac{\left(1+\frac{0,05}{1}\right)^{3\cdot 1} \cdot \frac{0,05}{1}}{\left(1+\frac{0,05}{1}\right)^{3\cdot 1}-1}=14\,686,34\;\text{euros}$$
$\square$
[autoría]
jueves, 5 de noviembre de 2015
Deducción de la fórmula de amortización.
Denotamos por:
$q$: cuota periódica ( se impone al final de cada período )
$C$: capital prestado
$t$: número de años del plan de amortización
$i$: tasa de interés anual
$f$: frecuencia de liquidación de intereses ( y del pago de la cuota ) en el intervalo de $1$ año
Vamos a suponer, primero, que $f=1$. Entonces:
la primera cuota produce: $(1+i)^{t-1}$
la segunda cuota produce: $(1+i)^{t-2}$
la tercera cuota produce: $(1+i)^{t-3}$
...
la $(t-1)$-ésima cuota produce: $(1+i)^{2}$
y la $t$-ésima ( y última ) produce: $1$
Luego el capital total producido en estas condiciones es $$q\cdot \left(1+(1+i)+(1+i)^{2}+(1+i)^{3}+\overset{\underbrace{t}}{\ldots}+(1+i)^{t-2}+(1+i)^{t-1}\right)$$ que es la suma de $t$ términos de una progresión geométrica de razón $1+i$ y primer término $1$, luego el valor de dicha suma es $$q\cdot\dfrac{(1+i)^{t}-1}{(1+i)-1}$$ expresión que, simplificada, queda $$q\cdot\dfrac{(1+i)^{t}-1}{i}$$ por otra parte la cantidad prestada, en los $t$ años, produce $$C\cdot(1+i)^t$$ que debe ser igual a la cantidad que proviene de la suma anterior, luego $$q\cdot\dfrac{\left(1+i\right)^{t}-1}{i}=C\cdot(1+i)^t$$
Así, si, ahora, consideramos que ( en general ) $f \succ 1$ llegamos a la siguiente generalización de la fórmula anterior $$q\cdot\dfrac{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}-1}{\frac{i}{f}}=C\cdot\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$$ Despejando $q$ ( cuota a pagar ) obtenemos $$q=C\cdot\dfrac{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f} \cdot \frac{i}{f}}{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}-1}$$
$\square$
Denotamos por:
$q$: cuota periódica ( se impone al final de cada período )
$C$: capital prestado
$t$: número de años del plan de amortización
$i$: tasa de interés anual
$f$: frecuencia de liquidación de intereses ( y del pago de la cuota ) en el intervalo de $1$ año
Vamos a suponer, primero, que $f=1$. Entonces:
la primera cuota produce: $(1+i)^{t-1}$
la segunda cuota produce: $(1+i)^{t-2}$
la tercera cuota produce: $(1+i)^{t-3}$
...
la $(t-1)$-ésima cuota produce: $(1+i)^{2}$
y la $t$-ésima ( y última ) produce: $1$
Luego el capital total producido en estas condiciones es $$q\cdot \left(1+(1+i)+(1+i)^{2}+(1+i)^{3}+\overset{\underbrace{t}}{\ldots}+(1+i)^{t-2}+(1+i)^{t-1}\right)$$ que es la suma de $t$ términos de una progresión geométrica de razón $1+i$ y primer término $1$, luego el valor de dicha suma es $$q\cdot\dfrac{(1+i)^{t}-1}{(1+i)-1}$$ expresión que, simplificada, queda $$q\cdot\dfrac{(1+i)^{t}-1}{i}$$ por otra parte la cantidad prestada, en los $t$ años, produce $$C\cdot(1+i)^t$$ que debe ser igual a la cantidad que proviene de la suma anterior, luego $$q\cdot\dfrac{\left(1+i\right)^{t}-1}{i}=C\cdot(1+i)^t$$
Así, si, ahora, consideramos que ( en general ) $f \succ 1$ llegamos a la siguiente generalización de la fórmula anterior $$q\cdot\dfrac{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}-1}{\frac{i}{f}}=C\cdot\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$$ Despejando $q$ ( cuota a pagar ) obtenemos $$q=C\cdot\dfrac{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f} \cdot \frac{i}{f}}{\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}-1}$$
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[autoría]
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