Deducción de la fórmula de capitalización.
Denotamos por:
$q$: cuota periódica ( se impone al principio de cada período )
$C$: capital a constituir
$t$: número de años del plan
$i$: tasa de interés anual
$f$: frecuencia de liquidación de intereses ( y del pago de la cuota ) en el intervalo de $1$ año
Vamos a suponer, primero, que $C=1$, y que $f=1$. Entonces:
la primera cuota produce: $(1+i)^t$
la segunda cuota produce: $(1+i)^{t-1}$
la tercera cuota produce: $(1+i)^{t-2}$
...
la $(t-1)$-ésima cuota produce: $(1+i)^{2}$
y la $t$-ésima ( y última ) produce: $1+i$
Luego el capital total, $C$, producido en estas condiciones es $$(1+i)+(1+i)^{2}+(1+i)^{3}+\overset{\underbrace{t}}{\ldots}+(1+i)^{t-1}+(1+i)^{t}$$ que es la suma de $t$ términos de una progresión geométrica de razón $1+i$ y primer término $1+i$, luego el valor de dicha suma es $$(1+i)\cdot\left(\dfrac{(1+i)^t-1}{i}\right)$$ Así, si, ahora, consideramos que $C \neq 1$ ( y, por supuesto, mayor que cero ), obtenemos $$q\cdot(1+i)\cdot\left(\dfrac{(1+i)^t-1}{i}\right)$$ y si $f \succ 1$ llegamos a la generalización de la fórmula anterior $$C=q\cdot(1+\frac{i}{f})\cdot\left(\dfrac{(1+\frac{i}{f})^{f\cdot t}-1}{\frac{i}{f}}\right)$$ y por tanto $$q=C\cdot \dfrac{\frac{i}{f}}{\left( \left(1+\frac{1}{f}\right)^{f\cdot t}-1\right)\cdot (1+\frac{i}{f})}$$
$\square$
[autoría]
