ENUNCIADO. Un capital de $4\,500,00$ euros se quiere aumentar en un $10\,\%$. Para ello, se coloca al $1,5\,\%$ de interés ( compuesto ) anual, liquidando los intereses cada tres meses. ¿ Cuánto tiempo debe permanecer depositado dicho capital ? ¿ Cuál es la TAE ?.
SOLUCIÓN.
El capital final es $C_{\text{final}}=4500,00+4500,00\cdot0,1=1,1\cdot 4500,00=4950,00$ euros . Como el periodo de liquidación de intereses es trimestral, la frecuencia de dicha operación es $f=\dfrac{12}{3}=4$. Entonces, de la fórmula del capital final a interés compuesto, $C_{\text{final}}=C_{\text{inicial}}\cdot \left(1+\dfrac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$ donde $t$ denota el número de años; y, poniendo los datos, $$4950=4500\cdot \left(1+\dfrac{0,015}{4}\right)^{4t}$$ esto es $$\dfrac{11}{10}= \left(1,00375\right)^{4t}$$ Sacando logaritmos en cada miembro $$\ln\,\dfrac{11}{10}=4t\,\ln\,{1,00375}$$ de donde, despejando $t$, $$t=\dfrac{\ln\,\frac{11}{10}}{4\cdot \ln\,1,00375}\approx 6,37\,\text{años} \approx 6\,\text{años y}\,5\,\text{meses}$$
Por último, procedemos a calcular la tasa anual equivalente: $$\text{TAE}=\left(1+\dfrac{i}{f}\right)^f-1$$ que, con los datos del problema, es igual a $$\text{TAE}=\left(1+\dfrac{0,015}{4}\right)^4-1\approx 0,0151 = 1,51\,\%$$
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