ENUNCIADO. Encontrar las raíces del polinomio y factorizarlo $$P(x)=2\,x^4-x^3-14\,x^2+19\,x-6$$
ENUNCIADO. Primero, trataremos de encontrar raíces racionales, que, por las propiedades estudiadas, sólo pueden ser aquellas cuyo numerador sea algún divisor de $-6$ ( el término independiente del polinomio ) y cuyo denominador sea algún divisor del coeficiente del término de mayor grado, que es $2$.
Vemos que $\text{div}(-6)=\{\pm 1\,,\,\pm 2\,,\,\pm 3\,,\,\pm 6\}$ y $\text{div}(2)=\{\pm 1\,,\,\pm 2\}$, luego las posibles raíces racionales ( incluidas las enteras ) son $$\{\pm 1\,,\,\pm 2\,,\,\pm 3\,,\,\pm 6\,,\,\pm\dfrac{1}{2}\,,\,\dfrac{3}{2}\}$$
Empleando el teorema del resto, y dividiendo por Ruffini, vamos a ir probándolas. Observemos que $\text{resto}(P(x)\div (x-1))=0$ y, por tanto, una primera raíz es $r_1=1$; en efecto $$\begin{array}{r|rrrr}
& 2 & -1 & -14 & 19 & -6\\
1 & & 2 & 1 & -13 & 6\\
\hline & 2 & 1 & -13 & 6 & 0\end{array}$$
entonces, por el teorema del factor, $$P(x)=(x-1)(2x^3+x^2-13x+6)$$ Las otras raíces de $P(x)$ ( si las hay ) deberán ser raíces de $2x^3+x^2-13x+6$. Podemos comprobar ( dividiendo otra vez por $(x-1)$ ) que el resto de $(2x^3+x^2-13x+6)\div(x-1)$ es distinto de $0$, por lo que $r_1=1$ sólo aparece una vez, con lo cual su multiplicidad es $1$. Probemos, a continuación el valor $2$, como posible raíz: al dividir $(2x^3+x^2-13x+6)\div(x-2)$ obtenemos resto igual a $0$
$$\begin{array}{r|rrrr}
& 2 & 1 & -13 & 6 \\
2 & & 4 & 10 & -6\\
\hline & 2 & 5 & -3 & 0\end{array}$$
luego otra raíz es $r_2=2$, y ( otra vez ) por el teorema del factor $$P(x)=(x-1)(x-2)(2x^2+5x-3)$$ Vemos, finalmente, si el polinomio remanente $2x^2+5x-3$ tiene, a su vez, raíces ( que serán también de $P(x)$ ); para ello, imponemos la condición necesaria $$2x^2+5x-3=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot (-3)\cdot 2}}{2 \cdot 2}=\dfrac{-5\pm 7}{4}=\left\{\begin{matrix}
1/2
\\
\text{ó}
\\
-3
\end{matrix}\right.$$
Por tanto $$P(x)=2\,(x-1)(x-2)(x-1/2)\left(x-(-3)\right)$$ esto es
$$P(x)=2\,(x-1)(x-2)(x-1/2)(x+3)$$
que es la respuesta a la segunda pregunta ( factorización de $P(x)$ ).
NOTA: Observemos que ha sido necesario, multiplicar por el factor $2$, para ajustar el producto de factores, pues ( recordemos que ) el coeficiente del término de mayor grado no es $1$ sino $2$.
También podemos dar el polinomio de la forma $$P(x)=(x-1)(x-2)(2x-1)(x+3)$$
$\square$
