Encontrar las raíces y factorizar ( polinomios )

ENUNCIADO. Calcular las raíces del siguiente polinomio y factorizarlo $$P(x)=x^4-2\,x^3-5\,x^2+6\,x$$

SOLUCIÓN. Un primer paso de factorización, en este caso, consiste simplemente en aplicar la propiedad distributiva de la suma con respecto al producto: $$P(x)=x\,(x^3-2\,x^2-5\,x+6 )$$ luego una de la raíces es $r_1=0$.

A continuación, procedamos a obtener otras posibles raíces, que necesariamente han de ser también raíces del polinomio de tercer grado del segundo miembro. Una de las propiedades que hemos estudiado nos dice que las posibles raíces enteras del polinomio $x^3-2\,x^2-5\,x+6$ tenemos que buscarlas entre los divisores del término independiente ( que es $6$ ), esto es, en el conjunto $\{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\}$.

Ensayando el valor $x=1$, vemos que $\left(x^3-2\,x^2-5\,x+6\right)_{x=1}=0$, luego $1$ es otra raíz de $P(x)$: $r_2=1$. Así, tenemos otro paso de factorización ( teorema del factor ), $$P(x)=x\,(x-1)\,Q(x)$$ Conocemos $Q(x)$ haciendo la división $$\left(x^3-2\,x^2-5\,x+6\right) \div (x-1)$$ [que, por comodidad, podemos realizar por el método de Ruffini ] obteniendo $$Q(x)=x^2-x-6$$

El polinomio $P(x)$ ( que es de cuarto grado ) puede por tanto tener otras dos raíces más, que serían las de $Q(x)$. Procedemos pues a determinar las raíces de $Q(x)$. Al tratarse de un polinomio de segundo grado, disponemos de fórmula para encontrar, directamente, las raíces del mismo ( si es que las tiene ): la condición para encontrar raíces es $Q(x)=0$, luego $$0=x^2-x-6 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-6)}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}-2 \\ 3\end{matrix}\right.$$ Así, vemos que $P(x)$ tiene otras dos raíces: $r_3=-2$ y $r_4=3$.

Resumiendo, el conjunto de raíces de $P(x)$ es $\{0,-2,1,3\}$, por lo que el polinomio factoriza de la siguiente forma $$P(x)=x\,(x-(-2))(x-1)(x-3)$$ esto es $$P(x)=x\,(x+2)(x-1)(x-3)$$
$\square$

Factorización de polinomios

ENUNCIADO. Encontrar las raíces del polinomio y factorizarlo $$x^3+5\,x^2-x-5$$

SOLUCIÓN.

Calcular las raíces del polinomio y expresarlo como producto de factores polinómicos primos

ENUNCIADO. Encontrar las raíces del polinomio y factorizarlo $$P(x)=2\,x^4-x^3-14\,x^2+19\,x-6$$

ENUNCIADO. Primero, trataremos de encontrar raíces racionales, que, por las propiedades estudiadas, sólo pueden ser aquellas cuyo numerador sea algún divisor de $-6$ ( el término independiente del polinomio ) y cuyo denominador sea algún divisor del coeficiente del término de mayor grado, que es $2$.

Vemos que $\text{div}(-6)=\{\pm 1\,,\,\pm 2\,,\,\pm 3\,,\,\pm 6\}$ y $\text{div}(2)=\{\pm 1\,,\,\pm 2\}$, luego las posibles raíces racionales ( incluidas las enteras ) son $$\{\pm 1\,,\,\pm 2\,,\,\pm 3\,,\,\pm 6\,,\,\pm\dfrac{1}{2}\,,\,\dfrac{3}{2}\}$$

Empleando el teorema del resto, y dividiendo por Ruffini, vamos a ir probándolas. Observemos que $\text{resto}(P(x)\div (x-1))=0$ y, por tanto, una primera raíz es $r_1=1$; en efecto $$\begin{array}{r|rrrr}
& 2 & -1 & -14 & 19 & -6\\
1 & & 2 & 1 & -13 & 6\\
\hline & 2 & 1 & -13 & 6 & 0\end{array}$$

entonces, por el teorema del factor, $$P(x)=(x-1)(2x^3+x^2-13x+6)$$ Las otras raíces de $P(x)$ ( si las hay ) deberán ser raíces de $2x^3+x^2-13x+6$. Podemos comprobar ( dividiendo otra vez por $(x-1)$ ) que el resto de $(2x^3+x^2-13x+6)\div(x-1)$ es distinto de $0$, por lo que $r_1=1$ sólo aparece una vez, con lo cual su multiplicidad es $1$. Probemos, a continuación el valor $2$, como posible raíz: al dividir $(2x^3+x^2-13x+6)\div(x-2)$ obtenemos resto igual a $0$

$$\begin{array}{r|rrrr}
& 2 & 1 & -13 & 6 \\
2 & & 4 & 10 & -6\\
\hline & 2 & 5 & -3 & 0\end{array}$$

luego otra raíz es $r_2=2$, y ( otra vez ) por el teorema del factor $$P(x)=(x-1)(x-2)(2x^2+5x-3)$$ Vemos, finalmente, si el polinomio remanente $2x^2+5x-3$ tiene, a su vez, raíces ( que serán también de $P(x)$ ); para ello, imponemos la condición necesaria $$2x^2+5x-3=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot (-3)\cdot 2}}{2 \cdot 2}=\dfrac{-5\pm 7}{4}=\left\{\begin{matrix}
1/2
\\
\text{ó}
\\
-3
\end{matrix}\right.$$
Por tanto $$P(x)=2\,(x-1)(x-2)(x-1/2)\left(x-(-3)\right)$$ esto es
$$P(x)=2\,(x-1)(x-2)(x-1/2)(x+3)$$
que es la respuesta a la segunda pregunta ( factorización de $P(x)$ ).

NOTA: Observemos que ha sido necesario, multiplicar por el factor $2$, para ajustar el producto de factores, pues ( recordemos que ) el coeficiente del término de mayor grado no es $1$ sino $2$.

También podemos dar el polinomio de la forma $$P(x)=(x-1)(x-2)(2x-1)(x+3)$$

$\square$

Expresar en factores el polinomio ...

ENUNCIADO. Factorizar el siguiente polinomio $$P(x)=x^4-2\,x^2-3\,x-2$$

SOLUCIÓN. Los números enteros que podrían ser raíces de este polinomio son los divisores del término independiente $$\text{div}(-2)=\{\pm1\,,\,\pm2\}$$ Veamos si lo son o no. Empezamos probando el valor $1$, dividiendo por $x-1$. Por el teorema del resto, $P(1) \neq 0$ ya que $$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & 0 & -2 & -3&-2\\
1 & & 1 & 1 & -1 & -4\\
\hline & 1 & 1 & -1 & -4 & -6\neq 0\end{array}$$ por lo que $1$ no es raíz del polinomio.
Probemos ahora $-1$, dividiendo por $x-(-1)$
$$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & 0 & -2 & -3&-2\\
-1 & & -1 & 1 & 1 & 2\\
\hline & 1 & -1 & -1 & -2 & 0\end{array}$$ luego $-1$ es una raíz. Veamos si tiene multiplicidad mayor que uno; para ello, volvemos a dividir ( el polinomio cociente $x^3-x^2-x-2$ de la primera división ) por $(x-(-1))$
$$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & -1 & -1 & -2\\
-1 & & -1 & 2 & -1\\
\hline & 1 & -2 & 1 & -3 \neq 0\end{array}$$ por lo que podemos afirmar que la multiplicidad de $-1$ es $1$.
Tenemos pues ya una raíz: $r_1=-1$, con multiplicidad $m_1=1$

A continuación, y de manera análoga a como acabamos de hacer, probemos el valor $2$ ( como posible raíz de $P(x)$, que también ha de serlo del $x^3-x^2-x-2$ ), dividiendo este polinomio por $x-2$ y observando si el resto de la división es cero, en cuyo caso ( por el teorema del resto ) $2$ será otra raíz de $P(x)$

$$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & -1 & -1 & -2\\
2 & & 2 & 2 & 2\\
\hline & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}$$ lo cual confirma ( el resto es cero ) que $2$ es otra raíz de $P(x)$. Observemos que el polinomio cociente de esta división es $x^2+x+1$, que es primo, pues no tiene raíces reales ( el discriminante de la ecuación $x^2+x+1=0$, que es la condición necesaria para encontrar raíces de dicho polinomio, es negativo ).

Recopilando lo realizado hasta aquí, y teniendo en cuenta el teorema de factorización, podemos escribir que la factorización pedida es $$P(x)=(x-(-1))(x-2)(x^2+x+1)$$ esto es $$P(x)=(x+1)(x-2)(x^2+x+1)$$
$\square$

[autoría]

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de un conjunto de polinomios

SOLUCIÓN. Descomponiendo los polinomios en factores ( polinómicos ) obtenemos:
$$P(x)=(x-1)(x+1)$$
$$Q(x)=(x+1)^2$$
$$R(x)=x+1$$
por consiguiente
$$\text{m.c.d}\left(P(x),Q(x),R(x)\right)=x+1$$
$$\text{m.c.m}\left(P(x),Q(x),R(x)\right)=(x-1)(x+1)^2=x^3+x^2-x-1$$
$\square$

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Determinar la solución de ...

ENUNCIADO. Determinar los números enteros que son solución de la ecuación $$\dfrac{x-1}{x^4-1}+1=\dfrac{1}{x^2-1}$$ ¿ Existe, además, alguna raíz no-entera como solución de dicha ecuación ?.

SOLUCIÓN. Procedemos a reducir la ecuación. Como $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)$, el mínimo común múltiplo de los denominadores es $x^4-1$. Multiplicando ambos miembros de la ecuación por dicho mínimo común múltiplo y simplificando llegamos a la siguiente ecuación equivalente $$x-1+x^4-1=x^2+1=0$$ Agrupando y ordenando términos obtenemos la siguiente ecuación algebraica $$x^4-x^2+x-1=0$$ cuyas soluciones son las raíces del polinomio $P(x)=x^4-x^2+x-1$. Los únicos divisores del término independiente son $-1$ y $1$, y puede comprobarse que sólo el segundo es raíz ( entera ) de $P(x)$, esto es, $r=1$; por consiguiente el polinomio $x-1$ divide a $P(x)$; con lo cual, efectuando la división $P(x) \div (x-1)$ vemos que el polinomio cociente es $x^3+x^2+1$. Así, podemos escribir $P(x)$ como el producto $(x-1)(x^3+x^2+1)$. Veamos si $Q(x):=x^3+x^2+1$ tiene alguna otra raíz entera, pues de tenerla, también lo sería de $P(x)$; las únicos números enteros que podrían ser raíces de este polinomio son, otra vez, $\pm 1$, pero ninguna de ellas lo es, pues $Q(1) \neq 0$ y $Q(-1) \neq 0$, como se puede comprobar fácilmente. Así pues, ya hemos dado respuesta a la primera pregunta: la única solución entera de la ecuación pedida es $x=1$.

Veamos, ahora, si hay alguna otra raíz no-entera. Es evidente que, de haberla, tampoco puede ser racional y no-entera, pues el coeficiente del término de mayor grado de $P(x)$ es $1$, luego con la raíz encontrada antes, $r=1$, hemos encontrado todas las posibles raíces racionales. Si hay otras raíces sólo pueden ser irracionales. Examinemos esto más a fondo. La regla de los signos de Descartes nos dice que $Q(x)=x^3+x^2+1$ no puede tener ninguna raíz positiva, pues en número de variaciones de signo en la secuencia de coeficientes $(1,1,0,1)$ es cero; ahora bien, como $Q(-x)=-x^3+x^2+1$, nos dice también dicha regla que, habiendo una variación de signo en los coeficientes de $Q(-x)$ ( es decir en la secuencia $(-1,1,0,1)$ dicho polinomio ha de tener una raíz negativa. Así que, por lo dicho antes, ésta ha de ser forzosamente un número irracional, con lo que damos respuesta a la segunda pregunta.

Nota: No se nos ha pedido su valor, sólo se nos ha pedido que se razonemos acerca de si existe o no; para hallar su valor, deberíamos utilizar la fórmula de resolución por radicales de un polinomio de grado tres ( que es complicada y no la estudiamos en este curso ) o bien recurrir a un método aproximado lo cual incluye la posibilidad de 'visualizar' dicha raíz con ayuda de un gráfico, lo cual sí es apropiado para este curso. La siguiente figura ( obtenida empleando el programa GeoGebra ) ilustra la gráfica de $Q(x)$ y la raíz irracional de la que estamos hablando y cuyo valor aproximado es $-1,47$.

$\square$

[autoría]

Resolver la ecuación ...

ENUNCIADO. Resolver al siguiente ecuación algebraica $$x^4-6x^2+8=0$$

SOLUCIÓN. Procedemos, encontrar las raíces del polinomio $$P(x)=x^4-6x^2+8$$
empezando con las posibles raíces enteras, que sólo podemos encontrarlas en el conjunto $\{\pm1,\pm2,\pm4,\pm8\}$, por estos los divisores del término independiente. Probando estos números ( empleando el teorema del resto o bien sustituyendo en la expresión del polinomio ) vemos que las únicas raíces enteras son $-2$ y $2$; en efecto, $P(-2)=0$ y $P(2)=0$, luego dos factores polinómicos de $P(x)$ son $(x-2)$ y $(x+2)$. Dividiendo ahora $P(x)$ entre $(x-2)(x+2)$ se obtiene como cociente el polinomio $x^2-2$, polinomio de segundo grados cuyas raíces son $\sqrt{2}$ y $-\sqrt{2}$. No pueden haber más raíces del polinomio $P(x)$ ya que es de cuarto grado y hemos encontrado cuatro raíces. De todo esto podemos concluir que la solución pedida viene dado por el conjunto de números $$\{-\sqrt{2},\sqrt{2},-2,2\}$$
{\sc Comentario.} Otra forma en que podríamos haber resuelto la ecuación propuesta ( que es bicuadrada ) consistiría en hacer la trasformación $t:=x^2$, llegando a la ecuación $t^2-6t^2+8=0$; resolviéndola por el procedimiento habitual de las ecuaciones de segundo grado y, deshaciendo la transformación ( $x=\sqrt{t}$ ) con los dos valores encontrados para $t$, obteniendo las cuatro raíces. Sin embargo, cabe decir que no todas las ecuaciones de grado $4$ son bicuadradas y por tanto esto no constituye un procedimiento general.
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[autoría]