Encontrar las raíces y factorizar ( polinomios )

ENUNCIADO. Calcular las raíces del siguiente polinomio y factorizarlo $$P(x)=x^4-2\,x^3-5\,x^2+6\,x$$

SOLUCIÓN. Un primer paso de factorización, en este caso, consiste simplemente en aplicar la propiedad distributiva de la suma con respecto al producto: $$P(x)=x\,(x^3-2\,x^2-5\,x+6 )$$ luego una de la raíces es $r_1=0$.

A continuación, procedamos a obtener otras posibles raíces, que necesariamente han de ser también raíces del polinomio de tercer grado del segundo miembro. Una de las propiedades que hemos estudiado nos dice que las posibles raíces enteras del polinomio $x^3-2\,x^2-5\,x+6$ tenemos que buscarlas entre los divisores del término independiente ( que es $6$ ), esto es, en el conjunto $\{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\}$.

Ensayando el valor $x=1$, vemos que $\left(x^3-2\,x^2-5\,x+6\right)_{x=1}=0$, luego $1$ es otra raíz de $P(x)$: $r_2=1$. Así, tenemos otro paso de factorización ( teorema del factor ), $$P(x)=x\,(x-1)\,Q(x)$$ Conocemos $Q(x)$ haciendo la división $$\left(x^3-2\,x^2-5\,x+6\right) \div (x-1)$$ [que, por comodidad, podemos realizar por el método de Ruffini ] obteniendo $$Q(x)=x^2-x-6$$

El polinomio $P(x)$ ( que es de cuarto grado ) puede por tanto tener otras dos raíces más, que serían las de $Q(x)$. Procedemos pues a determinar las raíces de $Q(x)$. Al tratarse de un polinomio de segundo grado, disponemos de fórmula para encontrar, directamente, las raíces del mismo ( si es que las tiene ): la condición para encontrar raíces es $Q(x)=0$, luego $$0=x^2-x-6 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-6)}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}-2 \\ 3\end{matrix}\right.$$ Así, vemos que $P(x)$ tiene otras dos raíces: $r_3=-2$ y $r_4=3$.

Resumiendo, el conjunto de raíces de $P(x)$ es $\{0,-2,1,3\}$, por lo que el polinomio factoriza de la siguiente forma $$P(x)=x\,(x-(-2))(x-1)(x-3)$$ esto es $$P(x)=x\,(x+2)(x-1)(x-3)$$
$\square$

Factorización de polinomios

ENUNCIADO. Calcular las raíces del siguiente polinomio y factorizarlo $$P(x)=x^3-2\,x^2-9\,x+18$$

SOLUCIÓN. El coeficiente del término de mayor grado es $1$, con lo cual toda raíz racional ha de ser un número entero divisor del término de grado independiente; ensayemos pues los divisores de $18$, que son $\{\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm9, \pm18\}$. Observemos que $P(2)=0$, luego una raíz de $P(x)$ es $2$. Por el teorema del factor, podemos escribir $P(x)=(x-2)\cdot Q(x)$, siendo, por tanto, $Q(x)=P(x) \div (x-2)$; por comodidad, podemos dividir por el método de Ruffini, obteniendo $Q(x)=x^2-9$. Así, $P(x)=(x-2)\,(x^2-9)$; ahora bien, $x^2-9$ no es un polinomio primo y, lógicamente, las ráices de $x^2-9$ son también raíces de $P(x)$. Veamos cuáles son las raíces de $x^2-9$: $$x^2-9=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-3 \\ \\ 3\end{matrix}\right.$$ Así, las raíces de $P(x)$ son $-3$, $2$ y $3$, y éste se descompone como producto de factores polinómicos primos de la forma $$P(x)=(x-(-3))(x-2)(x-3)$$ esto es $$P(x)=(x+3)(x-2)(x-3)$$
$\square$

Factorización de polinomios

ENUNCIADO. Encontrar las raíces del polinomio y factorizarlo $$x^3+5\,x^2-x-5$$

SOLUCIÓN.

Calcular las raíces del polinomio y expresarlo como producto de factores polinómicos primos

ENUNCIADO. Encontrar las raíces del polinomio y factorizarlo $$P(x)=2\,x^4-x^3-14\,x^2+19\,x-6$$

ENUNCIADO. Primero, trataremos de encontrar raíces racionales, que, por las propiedades estudiadas, sólo pueden ser aquellas cuyo numerador sea algún divisor de $-6$ ( el término independiente del polinomio ) y cuyo denominador sea algún divisor del coeficiente del término de mayor grado, que es $2$.

Vemos que $\text{div}(-6)=\{\pm 1\,,\,\pm 2\,,\,\pm 3\,,\,\pm 6\}$ y $\text{div}(2)=\{\pm 1\,,\,\pm 2\}$, luego las posibles raíces racionales ( incluidas las enteras ) son $$\{\pm 1\,,\,\pm 2\,,\,\pm 3\,,\,\pm 6\,,\,\pm\dfrac{1}{2}\,,\,\dfrac{3}{2}\}$$

Empleando el teorema del resto, y dividiendo por Ruffini, vamos a ir probándolas. Observemos que $\text{resto}(P(x)\div (x-1))=0$ y, por tanto, una primera raíz es $r_1=1$; en efecto $$\begin{array}{r|rrrr}
& 2 & -1 & -14 & 19 & -6\\
1 & & 2 & 1 & -13 & 6\\
\hline & 2 & 1 & -13 & 6 & 0\end{array}$$

entonces, por el teorema del factor, $$P(x)=(x-1)(2x^3+x^2-13x+6)$$ Las otras raíces de $P(x)$ ( si las hay ) deberán ser raíces de $2x^3+x^2-13x+6$. Podemos comprobar ( dividiendo otra vez por $(x-1)$ ) que el resto de $(2x^3+x^2-13x+6)\div(x-1)$ es distinto de $0$, por lo que $r_1=1$ sólo aparece una vez, con lo cual su multiplicidad es $1$. Probemos, a continuación el valor $2$, como posible raíz: al dividir $(2x^3+x^2-13x+6)\div(x-2)$ obtenemos resto igual a $0$

$$\begin{array}{r|rrrr}
& 2 & 1 & -13 & 6 \\
2 & & 4 & 10 & -6\\
\hline & 2 & 5 & -3 & 0\end{array}$$

luego otra raíz es $r_2=2$, y ( otra vez ) por el teorema del factor $$P(x)=(x-1)(x-2)(2x^2+5x-3)$$ Vemos, finalmente, si el polinomio remanente $2x^2+5x-3$ tiene, a su vez, raíces ( que serán también de $P(x)$ ); para ello, imponemos la condición necesaria $$2x^2+5x-3=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot (-3)\cdot 2}}{2 \cdot 2}=\dfrac{-5\pm 7}{4}=\left\{\begin{matrix}
1/2
\\
\text{ó}
\\
-3
\end{matrix}\right.$$
Por tanto $$P(x)=2\,(x-1)(x-2)(x-1/2)\left(x-(-3)\right)$$ esto es
$$P(x)=2\,(x-1)(x-2)(x-1/2)(x+3)$$
que es la respuesta a la segunda pregunta ( factorización de $P(x)$ ).

NOTA: Observemos que ha sido necesario, multiplicar por el factor $2$, para ajustar el producto de factores, pues ( recordemos que ) el coeficiente del término de mayor grado no es $1$ sino $2$.

También podemos dar el polinomio de la forma $$P(x)=(x-1)(x-2)(2x-1)(x+3)$$

$\square$

Expresar en factores el polinomio ...

ENUNCIADO. Factorizar el siguiente polinomio $$P(x)=x^4-2\,x^2-3\,x-2$$

SOLUCIÓN. Los números enteros que podrían ser raíces de este polinomio son los divisores del término independiente $$\text{div}(-2)=\{\pm1\,,\,\pm2\}$$ Veamos si lo son o no. Empezamos probando el valor $1$, dividiendo por $x-1$. Por el teorema del resto, $P(1) \neq 0$ ya que $$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & 0 & -2 & -3&-2\\
1 & & 1 & 1 & -1 & -4\\
\hline & 1 & 1 & -1 & -4 & -6\neq 0\end{array}$$ por lo que $1$ no es raíz del polinomio.
Probemos ahora $-1$, dividiendo por $x-(-1)$
$$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & 0 & -2 & -3&-2\\
-1 & & -1 & 1 & 1 & 2\\
\hline & 1 & -1 & -1 & -2 & 0\end{array}$$ luego $-1$ es una raíz. Veamos si tiene multiplicidad mayor que uno; para ello, volvemos a dividir ( el polinomio cociente $x^3-x^2-x-2$ de la primera división ) por $(x-(-1))$
$$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & -1 & -1 & -2\\
-1 & & -1 & 2 & -1\\
\hline & 1 & -2 & 1 & -3 \neq 0\end{array}$$ por lo que podemos afirmar que la multiplicidad de $-1$ es $1$.
Tenemos pues ya una raíz: $r_1=-1$, con multiplicidad $m_1=1$

A continuación, y de manera análoga a como acabamos de hacer, probemos el valor $2$ ( como posible raíz de $P(x)$, que también ha de serlo del $x^3-x^2-x-2$ ), dividiendo este polinomio por $x-2$ y observando si el resto de la división es cero, en cuyo caso ( por el teorema del resto ) $2$ será otra raíz de $P(x)$

$$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & -1 & -1 & -2\\
2 & & 2 & 2 & 2\\
\hline & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}$$ lo cual confirma ( el resto es cero ) que $2$ es otra raíz de $P(x)$. Observemos que el polinomio cociente de esta división es $x^2+x+1$, que es primo, pues no tiene raíces reales ( el discriminante de la ecuación $x^2+x+1=0$, que es la condición necesaria para encontrar raíces de dicho polinomio, es negativo ).

Recopilando lo realizado hasta aquí, y teniendo en cuenta el teorema de factorización, podemos escribir que la factorización pedida es $$P(x)=(x-(-1))(x-2)(x^2+x+1)$$ esto es $$P(x)=(x+1)(x-2)(x^2+x+1)$$
$\square$

[autoría]

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de un conjunto de polinomios

SOLUCIÓN. Descomponiendo los polinomios en factores ( polinómicos ) obtenemos:
$$P(x)=(x-1)(x+1)$$
$$Q(x)=(x+1)^2$$
$$R(x)=x+1$$
por consiguiente
$$\text{m.c.d}\left(P(x),Q(x),R(x)\right)=x+1$$
$$\text{m.c.m}\left(P(x),Q(x),R(x)\right)=(x-1)(x+1)^2=x^3+x^2-x-1$$
$\square$

[autoría]