SOLUCIÓN. Los números enteros que podrían ser raíces de este polinomio son los divisores del término independiente $$\text{div}(-2)=\{\pm1\,,\,\pm2\}$$ Veamos si lo son o no. Empezamos probando el valor $1$, dividiendo por $x-1$. Por el teorema del resto, $P(1) \neq 0$ ya que $$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & 0 & -2 & -3&-2\\
1 & & 1 & 1 & -1 & -4\\
\hline & 1 & 1 & -1 & -4 & -6\neq 0\end{array}$$ por lo que $1$ no es raíz del polinomio.
Probemos ahora $-1$, dividiendo por $x-(-1)$
$$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & 0 & -2 & -3&-2\\
-1 & & -1 & 1 & 1 & 2\\
\hline & 1 & -1 & -1 & -2 & 0\end{array}$$ luego $-1$ es una raíz. Veamos si tiene multiplicidad mayor que uno; para ello, volvemos a dividir ( el polinomio cociente $x^3-x^2-x-2$ de la primera división ) por $(x-(-1))$
$$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & -1 & -1 & -2\\
-1 & & -1 & 2 & -1\\
\hline & 1 & -2 & 1 & -3 \neq 0\end{array}$$ por lo que podemos afirmar que la multiplicidad de $-1$ es $1$.
Tenemos pues ya una raíz: $r_1=-1$, con multiplicidad $m_1=1$
A continuación, y de manera análoga a como acabamos de hacer, probemos el valor $2$ ( como posible raíz de $P(x)$, que también ha de serlo del $x^3-x^2-x-2$ ), dividiendo este polinomio por $x-2$ y observando si el resto de la división es cero, en cuyo caso ( por el teorema del resto ) $2$ será otra raíz de $P(x)$
$$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & -1 & -1 & -2\\
2 & & 2 & 2 & 2\\
\hline & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}$$ lo cual confirma ( el resto es cero ) que $2$ es otra raíz de $P(x)$. Observemos que el polinomio cociente de esta división es $x^2+x+1$, que es primo, pues no tiene raíces reales ( el discriminante de la ecuación $x^2+x+1=0$, que es la condición necesaria para encontrar raíces de dicho polinomio, es negativo ).
Recopilando lo realizado hasta aquí, y teniendo en cuenta el teorema de factorización, podemos escribir que la factorización pedida es $$P(x)=(x-(-1))(x-2)(x^2+x+1)$$ esto es $$P(x)=(x+1)(x-2)(x^2+x+1)$$
$\square$
[autoría]
