SOLUCIÓN.
Obsérvese en primer lugar que, debido a que el argumento de la raíz cuadrada ha de ser no negativo para que dicha función (raíz cuadrada) esté definida, es necesario que $2x-1\gt 0$luego $x\gt \dfrac{1}{2} \quad (1)$
Iniciemos el proceso de resolución:
$\sqrt{2x-1}-x=-3$
$\sqrt{2x-1}=x-3$
$(\sqrt{2x-1})^2=(x-3)^2$
$2x-1=x^2-6x+9$
$0=x^2-8x+10$
$x=\dfrac{-(-8)\pm\,\sqrt{(-8)^2-4\cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}=\dfrac{8\pm\,2\sqrt{6}}{2}=4\pm \sqrt{6}$
Sin embargo, ésta es la solución de la ecuación cuadrática por la que hemos pasado en el proceso de resolución, pero no tiene por qué serlo (necesáriamente) de la ecuación original; comprobamos, no obstante, que, teniendo en cuenta $(1)$, los valores obtenidos son mayores que $\dfrac{1}{2}$, luego ambos valores son solución también de la ecuación original. $\square$
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