Resolver la ecuación

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación en el conjunto de los números reales $$\sqrt{x-1}+1=\sqrt{1-x}$$

SOLUCIÓN.

$\sqrt{x-1}+1=\sqrt{1-x}$

  $(\sqrt{x-1}+1)^2=(\sqrt{1-x})^2$

    $\sqrt{x-1}+2\,\sqrt{x-1}+1=1-x$

      $x+2\,\sqrt{x-1}=1-x$

        $2\,\sqrt{x-1}=1-2\,x$

          $(2\,\sqrt{x-1})^2=(1-2\,x)^2$

            $4\,(x-1)=1-4\,x+4\,x^2$

              $4\,x-4=1-4\,x+4\,x^2$

                $4\,x^2-8\,x+5=0$

                $x=\dfrac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^2-4\cdot 4 \cdot 5}}{ 2 \cdot 4}$

                  $=\dfrac{8\pm \sqrt{-16}}{8} \notin \mathbb{R}$

$\square$

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Resolver la ecuación con radicales ...

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$\sqrt{x+4}-\sqrt{x-1}=1$$

SOLUCIÓN.

$\sqrt{x+4}-\sqrt{x-1}=1$

  $\sqrt{x+4}=1+\sqrt{x-1}$

    $(\sqrt{x+4})^2=(1+\sqrt{x-1})^2$

      $x+4=1+2\,\sqrt{x-1}+(\sqrt{x-1})^2$

        $x+4=1+2\,\sqrt{x-1}+x-1$

          $4=2\,\sqrt{x-1}$

            $2=\sqrt{x-1}$

              $2^2=(\sqrt{x-1})^2$

              $4=x-1$

                $x=5$

$\square$

[autoría]

Resolver la ecuación ...

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$\sqrt{2x-1}-x=-3$$

SOLUCIÓN.
Obsérvese en primer lugar que, debido a que el argumento de la raíz cuadrada ha de ser no negativo para que dicha función (raíz cuadrada) esté definida, es necesario que $2x-1\gt 0$luego $x\gt \dfrac{1}{2} \quad (1)$
Iniciemos el proceso de resolución:
$\sqrt{2x-1}-x=-3$
  $\sqrt{2x-1}=x-3$
    $(\sqrt{2x-1})^2=(x-3)^2$
      $2x-1=x^2-6x+9$
        $0=x^2-8x+10$
          $x=\dfrac{-(-8)\pm\,\sqrt{(-8)^2-4\cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}=\dfrac{8\pm\,2\sqrt{6}}{2}=4\pm \sqrt{6}$
Sin embargo, ésta es la solución de la ecuación cuadrática por la que hemos pasado en el proceso de resolución, pero no tiene por qué serlo (necesáriamente) de la ecuación original; comprobamos, no obstante, que, teniendo en cuenta $(1)$, los valores obtenidos son mayores que $\dfrac{1}{2}$, luego ambos valores son solución también de la ecuación original. $\square$

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Resolver ...

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación en el conjunto de los números reales $$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\sqrt{x-1}$$

-oOo-
Démonos cuenta, en primer lugar, que si la ecuación propuesta tiene solución ésta debe ser mayor o igual que $1$   (1) pues es la solución del sistema de inecuaciones $$x+1\ge 0\,,\,x\ge 0\quad y\quad x-1\ge 0$$ esto es, la intersección de sus intervalos solución por separado; en efecto, para valores menores que $1$, las raíces cuadradas del segundo término de primer miembro y el del segundo miembro no estarán definidas en el conjunto de los números reales.

Dicho ésto, iniciemos los pasos algebraicos para encontrar la solución. Elevando al cuadrado en cada miembro $$\left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \right)^2=(\sqrt{x-1})^2$$ obtenemos la ecuación equivalente $$x+1-2\sqrt{x(x+1)}+x=x-1$$ agrupando y simplificando $$x+2=2\,\sqrt{x(x+1)}$$ Volviendo a elevar al cuadrado ambos miembros $$x+2=4\,x^2+4x$$ agrupando $$4\,x^2+3\,x-2=0$$ y por tanto $$x=\dfrac{-3 \pm \sqrt{9-4\cdot (-2)\cdot 4}}{2 \cdot 4}=\dfrac{-3\pm \sqrt{41}}{8}\lt 1$$Por consiguiente, al no cumplir (1) ninguno de estos dos valores, concluimos que la ecuación propuesta no tiene solución en el conjunto de los números reales.
$\square$

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