Démonos cuenta, en primer lugar, que si la ecuación propuesta tiene solución ésta debe ser mayor o igual que $1$ (1) pues es la solución del sistema de inecuaciones $$x+1\ge 0\,,\,x\ge 0\quad y\quad x-1\ge 0$$ esto es, la intersección de sus intervalos solución por separado; en efecto, para valores menores que $1$, las raíces cuadradas del segundo término de primer miembro y el del segundo miembro no estarán definidas en el conjunto de los números reales.
Dicho ésto, iniciemos los pasos algebraicos para encontrar la solución. Elevando al cuadrado en cada miembro $$\left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \right)^2=(\sqrt{x-1})^2$$ obtenemos la ecuación equivalente $$x+1-2\sqrt{x(x+1)}+x=x-1$$ agrupando y simplificando $$x+2=2\,\sqrt{x(x+1)}$$ Volviendo a elevar al cuadrado ambos miembros $$x+2=4\,x^2+4x$$ agrupando $$4\,x^2+3\,x-2=0$$ y por tanto $$x=\dfrac{-3 \pm \sqrt{9-4\cdot (-2)\cdot 4}}{2 \cdot 4}=\dfrac{-3\pm \sqrt{41}}{8}\lt 1$$Por consiguiente, al no cumplir (1) ninguno de estos dos valores, concluimos que la ecuación propuesta no tiene solución en el conjunto de los números reales.
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