Resolver la siguiente ecuación cuyos términos son fracciones algebraicas

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{1}{x^2-1}$$

SOLUCIÓN. Multiplicando por $\text{m.c.m}(x-1,x+1,x^2-1)=\text{m.c.m}(x-1,x+1,(x-1)(x+1))=(x-1)(x+1)$ en ambos miembros de la ecuación, transformamos esta en una ecuación polinómica $$(x-1)(x+1)\dfrac{x}{x-1}-(x-1)(x+1)\,\dfrac{x}{x+1}=(x-1)(x+1)\dfrac{1}{(x-1)(x+1)}$$
$$x(x+1)-(x-1)x=1$$
$$x^2+x-x^2+x=1$$
$$2x=1$$
$$x=\dfrac{1}{2}$$
$\square$

Resolver las siguientes ecuaciones ... ( Artículo escrito en catalán )

1. Resoleu el sistema d'equacions:    

$\left.\begin{matrix} x + y = 1\\ \\ \log{x} + \log{y} = \log{\big(\dfrac{1}{100}\big)}\\ \end{matrix}\right\}$

Per les propietats dels logaritmes, la segona equació es pot posar de la forma

$\log{(x\,y)}=\log{\big(\dfrac{1}{100}\big)}$

és a dir

$x\,y = \dfrac{1}{100}$

Llavors, aïllant una de les dues variables (per exemple $y$) queda

$y = \dfrac{1}{100\,x}$

que, substituïda a la primera equació, ens permet escriure una equació amb una sola variable

$x+\dfrac{1}{100 \, x}=1$

equivalent a

$100\,x^2-100\,x+1=0$

d'on traiem que

$x_1=\dfrac{5+2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10} > 0$

i

$x_2=\dfrac{5-2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10} > 0$

valors aparellats amb els de la variable $y$ (substituint):

$y_1=\dfrac{5-2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}> 0$

i

$y_2=\dfrac{5+2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}> 0$

Per tant, trobem dues solucions

a) $x_1=\dfrac{5+2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}$, $y_1=\dfrac{5-2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}$

b) $x_2=\dfrac{5-2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}$, $y_2=\dfrac{5+2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}$

$\square$

2. Calculeu el valor aproximat de $x$ amb cinc xifres significatives
        $3^x=7$

Extraient logaritmes de cada membre de la igualtat

$\ln{\big(3^x\big)}=\ln{7}$

d'on, per les propietats dels logaritmes, queda

$x\, \ln{3}=\ln{7}$

i, aïllant la variable, podrem escriure

$x=\dfrac{\ln{7}}{\ln{3}} \approx 1,7712 \, \text{(5 x.s.)}$

$\square$

3. Resoleu l'equació
        $2^{x^2+5x+8}=4$

Podem expressar el terme independent del segon membre com una potència de de base dos

$2^{x^2+5x+8}=2^2$

d'on es desprèn que els exponents de tots dos membres han de ser iguals (les bases són les mateixes)

$x^2+5x+8=2$

equació que, tota vegada l'hem preparat per ser resolta, queda de la forma

$x^2+5x+6=0$

i dóna els següents resultats

$x=\left\{\begin{matrix} -2\\ \\ -3\\ \end{matrix}\right.$

$\square$

[nota del autor]