Aplicación de la derivada a la optimización

ENUNCIADO. El beneficio neto mensual, en decenas de miles de euros, de una empresa que fabrica ciertos dispositivos viene dado por la función $$B(x)=1,2\,x-(0,1\,x)^3$$ donde $x$ es el número de dispositivos fabricados en un mes. Calcúlese la producción mensual que maximiza el beneficio, así como el valor máximo del mismo.

SOLUCIÓN.
La función $B(x)$ está definida ( atendiendo al significado de la misma ) para $x \ge 0$, tal como se muestra en el gráfico ( que no es necesario dibujar en el examen ). Para maximizar el beneficio, encontraremos primero los máximos relativos ( entre los extremos relativos de la función ) y, a partir, de estos, deduciremos el máximo absoluto.

Veamos, pues, cuáles son los extremos relativos. Imponiendo la condición necesaria $B'(x)=0$, obtenemos $$0=1,2-3\,(0,1\,x)^2\cdot (0,1x)'$$ es decir $$0=1,2-0,003\,x^2$$ luego los extremos relativos que aparecen tienen por abscisas $$x_{1}^{*}=-20 \quad \text{y}\quad x_{2}^{*}=20$$ Es evidente que la primera cae fuera del dominio de definición de la función.

Comprobemos, ahora, que la segunda corresponde a un máximo; para ello, empleamos el criterio del signo de la segunda derivada. La derivada segunda es $$B''(x)=-0,003x$$ luego $B''(x_{2}^{*})=B''(20)=-0,003\cdot 20 < 0$ y, por consiguiente, queda probado que esta segunda abscisa corresponde a un máximo relativo o local. Además, la función no presenta otros máximos relativos, luego el máximo es también absoluto, luego la abscisa encontrada da respuesta a la primera pregunta: la producción mensual que maximiza el beneficio es de $20$ unidades. Y dicho beneficio máximo es igual a $B(20)=1,2\cdot 20-(0,1\cdot 20)^3=16$ decenas de miles de euros.

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Determinar la ecuación de la recta tangente ...

ENUNCIADO. Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)=-x^2+3$ en el punto $P$ de abscisa $x_P=1$. Finalmente, representar la gráfica de la función y la gráfica de la recta tangente pedida en un mismo diagrama.

SOLUCIÓN.

Debemos encontrar la ecuación de una recta $\text{r.t en P:}\;y=m\,x+k$ ( la escribimos en forma explícita ) tal que:
i) $m=f'(x_p)=f'(1)$
ii) $k=f(x_P)-m\,x$, donde sustituimos el valor de $m$ [ que habremos determinado en i) ] teniendo en cuenta, además, que, en $P$, han de coincidir las imágenes por $f$ y por la función lineal afín ( dada por la recta tangente en $P$ )

Procedamos al cálculo:
i) La función derivada de $f$ es $f'(x)=-2\,x$, luego $f'(1)=-2$ y, por tanto, $m=-2$
ii) Conocido ya el valor de la pendiente de la r.t., podemos escribir $y=-2\,x+k$. Como $y_{\text{r.t.}}$ ( en $P$ ) es igual a $f(1)=-1^2+3=2$, entonces $k=2-(-2)\cdot 1=4$
Por consiguiente, $$\text{r.t. en P:}\;y=-2\,x+4$$

Representación gráfica:

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Determinar las rectas asíntotas de la función ...

ENUNCIADO. Sea la función $f(x)=\dfrac{5x^2}{2x-1}$. Se pide:
a) Encontrar las ecuaciones de las rectas asíntotas
b) Representar gráficamente dichas rectas asíntotas y la gráfica de la función $f(x)$ en un mismo diagrama.

SOLUCIÓN.
a) Las asíntotas verticales son rectas perpendiculares al eje de abscisas, y, por tanto, $\text{a.v.}:x=c$ donde $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\,f(x)=\pm \infty$. Puede comprobarse que los valores de $c$ son los que anulan el denominador de la función pedida ( no anulando a la vez el numerador ), y esto ocurre si $2x-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$, esto es, si $c=\dfrac{1}{2}$. Hay, por tanto, sólo una asíntota vertical: $$\text{a.v.}:x=\dfrac{1}{2}$$

b) a) Las asíntotas oblicuas, son rectas cuya ecuación en forma explícita es $\text{a.o.}:y=m\,x+k$, donde $m$ es la pendiente ( para $m=0$ se obtienen las asíntotas paralelas al eje de abscisas o asíntotas horizontales ) y $k$ la ordenada en el origen ). Procederemos en dos pasos: primero, calcularemos el valor de $m$; y, una vez conocido éste, calcularemos el valor de $k$.

Paso 1. Calculamos $m$ mediante la definición ( justificada en clase ): $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,f'(x)$, que es equivalente a $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}$. Para el caso que nos ocupa, y por comodidad de cálculo, utilizaremos la segunda definición. Entonces $m=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{5\,x^2}{2\,x^2-x}=\dfrac{5}{2}$

Paso 2. Calculamos $k$ despejando de $y=m\,x+k$, a la vez que pasamos al límite: $$k=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,(f(x)-mx)=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,(\dfrac{5x^2}{2x-1}-\dfrac{5}{2}\,x)=\dfrac{5}{4}$$

Hecho esto, ya podemos escribir la ecuación de la ( en este caso sólo hay una ) recta oblicua, $$\text{r.o.:}y=\dfrac{5}{2}\,x+\dfrac{5}{4}$$

Y, finalmente, observando además que la ordenada en el origen de la función es $0$ ( $f(0)=0$ ), ya podemos dibujar un esbozo de la gráfica de la función:

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Calcular el dominio de definición

ENUNCIADO. Calcular el dominio de definición de la función $$f(x)=\dfrac{\sqrt {x^2-5x+6 }}{x-3}$$

SOLUCIÓN. En primer lugar, podemos factorizar el polinomio del argumento de la raíz cuadrada $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$ con lo cual la función podemos escribirla de la forma $$f(x)= \sqrt{\dfrac{x-2}{x-3}}$$ Así $$\text{Dom}\,f=\{x\in \mathbb{R}: \dfrac{x-2}{x-3} \ge 0 \}$$ Entonces $$\dfrac{x-2}{x-3} \ge 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-2 \ge 0 \quad \text{y} \quad x-3 > 0 \rightarrow [2\,,\,+\infty) \cap (3\,,\,+\infty) = (3\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}\\ \\ \text{ó} \\ \\ x-2 \le 0 \quad \text{y} \quad x-3 < 0 \rightarrow (-\infty\,,\,2] \cap (-\infty\,,\,3) = (-\infty\,,\,2] \subset \mathbb{R} \end{matrix}\right.$$ De lo cual se deduce que $$\text{Dom}\,f=(-\infty\,,\,2] \cup ( 3\,,\,+\infty)$$ o lo que es lo mismo $$\text{Dom}\,f=\mathbb{R}\setminus(2\,,\,3]$$
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Correspondencias y funciones ... ( Artículo escrito en catalán )

És molt important entendre què és i què no és una funció. Una funció és un tipus de correspondència entre conjunts numèrics que es caracteritza pel fet que cada element del conjunt inicial té una sola imatge (li correspon un sol element del conjunt final). Per bé que totes les funcions es poden expressar mitjançant una relació algèbrica entre les variables, això no és exclusiu de les funcions. Podem posar molts exemples de correspondències entre conjunts numèrics que no són funció.

Així, per exemple, aquesta gràfica (una espiral) està lligada a una correspondència entre dos conjunts numèrics que donen valors a les variables $x$ i $y$, però no està associat a una funció atès que qualsevol valor de la variable independent, $x$, té múltiples imatges.$\square$