Resolver la ecuación

ENUNCIADO. Resolver
$$x^4-7x^2+12=0$$

SOLUCIÓN. Al tratarse de una ecuación bicuadrada, procedemos a realizar la siguiente transformación $$t:=x^2$$ que nos permite reescribirla como una ecuación cuadrática $$t^2-7t+12=0$$ Resolviendo esta ecuación $$t=\dfrac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot 1\cdot 12}}{2 \cdot 1}=\dfrac{7\pm1}{2}=\left\{\begin{matrix}
4 \\ \\
3
\end{matrix}\right.$$ Deshaciendo, ahora, la transformación:
Si $t=4$, entonces $x=\pm\sqrt{4}=\pm 2$
Si $t=4$, entonces $x=\pm\sqrt{3}$
Es decir, la solución de la ecuación pedida consta de los siguientes valores $$\{-2\,,\,-\sqrt{3}\,,\,2\,,\,\sqrt{3}\}$$

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Determinar las raíces ...

ENUNCIADO. Encontrar las raíces ( reales ) del siguiente polinomio $$P(x)=x^4-2\,\sqrt{3}\,x^2+3$$

SOLUCIÓN. El conjunto de raíces viene dado por los números $$\{x \in \mathbb{R}: P(x)=0 \}$$ por lo que debemos resolver la ecuación $$x^4-2\,\sqrt{3}\,x^2+3=0$$ que es bicuadrada, luego haciendo la transformación $t=x^2$, llegamos a $$t^2-2\,\sqrt{3}\,t+3=0$$ de donde $$t=\dfrac{-2\,\sqrt{3}\pm \sqrt{(-2\,\sqrt{3})^2-4\cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 1}=\pm |\sqrt{3}|$$
Deshaciendo la transformación $$x=\sqrt{t}$$ por tanto si $t=-|\sqrt{3}|$, $x=\sqrt{-|\sqrt{3}|} \notin \mathbb{R}$; y, si $t=|\sqrt{3}|$, $x=\sqrt{|\sqrt{3}|}=\pm \,|\sqrt[4]{3}|$. Por tanto las raíces de $P(x)$ son $$\{- \,|\sqrt[4]{3}|\,,\,|\sqrt[4]{3}|\}$$
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