Disparando cohetes de señales

ENUNCIADO. En una caja hay $10$ cohetes de señales, entre los cuales hay $5$ que son inservibles. Se eligen al azar $4$ de los cohetes de la caja. ¿ Cuál es la probabilidad de que los $4$ cohetes elegidos se puedan lanzar ? ¿ Y de que alguno de los cuatro cohetes se pueda lanzar ? ¿ Cuántos cohetes de los cuatro elegidos se espera que se puedan lanzar ?.

SOLUCIÓN. Sea $X$ la variable aleatoria "número de cohetes inservibles" ( cohetes que no pueden dispararse ) y que, por lo dicho en el enunciado, sigue una distribución hipergeométrica cuya función de cuantía ( de probabilidad ) es $$P\{X=k\}=\displaystyle \dfrac{\binom{5}{k} \cdot \binom{10-5}{4-k}}{\binom{10}{4}}$$ donde $k \in \{0,1,2,3,4\}$. Entonces la probabilidad de que todos los cohetes se puedan lanzar es $$P\{X=0\}=\displaystyle \dfrac{\binom{5}{0} \cdot \binom{10-5}{4-0}}{\binom{10}{4}}=\dfrac{5}{210}\approx 2\,\%$$

La probabilidad de que ninguno se pueda lanzar es igual a $$P\{X=4\}=\displaystyle \dfrac{\binom{5}{4} \cdot \binom{10-5}{4-4}}{\binom{10}{4}}=\dfrac{5}{210}\approx 2\,\%$$ luego la probabilidad de que alguno de los cuatro ( al menos uno ) se pueda lanzar es igual a $$1-\dfrac{5}{210}=\dfrac{41}{42} \approx 98\,\%$$

La esperanza matemática ( número de cohetes que se espera que no funcionen ) es $$E[X]=4 \cdot \dfrac{5}{10}=2$$
$\square$