Encontrar el máximo de la función teniendo en cuenta que ...

ENUNCIADO. Los beneficios mensuales ( en unidades monetarias arbitrarias ) de una empresa dedicada a la fabricación de un cierto tipo de aparatos electrónicos dependen del número de aparatos fabricados, $x$ ( en miles de unidades ), según la función $f(x)=2\,x^3-15\,x^2+36\,x-19$. La empresa puede optar a producir entre $1$ millar y $3$ millares de aparatos. ¿Cuál es el número de aparatos se deberían fabricar para obtener beneficio máximo? ¿Cuál es el valor de dicho beneficio máximo?

SOLUCIÓN. La condición necesaria para que existan extremos relativos es $f'(x)=0$. Derivando la función obtenemos $f'(x)=6\,x^2-30\,x+36$, e imponiendo la condición: $$6\,x^2-30\,x+36=0 \Leftrightarrow x^*=\left\{\begin{matrix}3 \\ \\ 2 \end{matrix}\right.$$
Observemos que la primera derivada a la izquierda de $x_{1}^{*}=2$ es positiva ( por ejemplo, en $x=1$, $f'(1) > 0$ ) y a su derecha es negativa ( por ejemplo, en $x=3$, $f'(3) < 0$ ), luego $f$ alcanza un un máximo local en $x_{1}^{*}=2$ ( y como, para un polinomio, los máximos y mínimos se alternan, $f$ alcanza un mínimo en $x_{2}^*=3$ ). El máximo local encontrado es, además, el máximo absoluto de $f$ en el intervalo $[1\,,\,3]$ ); por tanto, habrá que producir $2$ millares de aparatos para obtener el benefició máximo; y el valor de éste es igual a $f(2)=2\cdot 2^3-15\cdot 2^2+36\cdot 2-19=9$ ( unidades monetarias arbitrarias ). $\square$